sujet : Liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :

   1. les valeurs de $f\prime \left(-2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$ ;

      • $f\prime \left(-2\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse − 2. Or la tangente à la courbe Γ au point $B\left(-2;\mathrm{6,5}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-2\right)=0$.

      • $f\prime \left(2\right)$ est le coefficient directeur de la tangente (EF) à la courbe Γ au point E d'abscisse 2 donc $$f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{3-2}{4-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

      $f\prime \left(-2\right)=0$ et $f\prime \left(2\right)=\mathrm{0,5}$

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   2. les valeurs de x dans l'intervalle $\left[4;6\right]$ vérifiant $f\prime \left(x\right)⩾0$ ;

      La fonction f est croissante sur chacun des intervalles $\left[-4;-2\right]$ ou $\left[1;6\right]$

      $f\prime \left(x\right)⩾0$ pour tout réel x dans $\left[-4;-2\right]\cup \left[1;6\right]$.

      ---

   3. les valeurs de x dans l'intervalle $\left[4;6\right]$ vérifiant $f\left(x\right)⩽x$.

      Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽x$ sont les abscisses des points de la courbe Γ situés sous la droite Δ.

      $f\left(x\right)⩽x$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;6\right]$.

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2. Soit g la fonction définie sur $\left]-4;6\right]$ par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$. Déterminer par lecture graphique et avec justification :

   1. les variations de g ;

      g est la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème :

      Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

      La fonction g a les mêmes variations que la fonction f sur $\left]-4;6\right]$. Par lecture graphique, nous pouvons déduire le tableau des variations de la fonction g :

      x	4		− 2		1		6
      $g\left(x\right)$

      ---

   2. la limite de la fonction g quand x tend vers − 4.

      $\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }\ln X=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -4}{\lim }\ln \left[f\left(x\right)\right]=-\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to -4}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

      ---

3. Encadrement d'une intégrale
   Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

   1. Soit l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Interpréter graphiquement I.

      La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[4;6\right]$ , donc f est continue sur cet intervalle. D'autre part, la courbe Γ est située au dessus de l'axe des abscisses, donc f est positive sur $\left[4;6\right]$.

      L'intégrale $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire exprimée en unité d'aire du domaine compris entre la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$.

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   2. Proposer un encadrement de l'intégrale I par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.

      Soient $M\left(2;0\right)$, $N\left(4;0\right)$ et $P\left(4;4\right)$ le point de la droite Δ d'abscisse 4.

      L'aire du domaine hachuré compris entre la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$ est comprise entre l'aire du trapèze EMNF et celle du trapèze EMNP. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\left(\mathrm{EM}+\mathrm{FN}\right)\times \mathrm{MN}}{2}}⩽{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle \frac{\left(\mathrm{EM}+\mathrm{PN}\right)\times \mathrm{MN}}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{\left(2+3\right)\times 2}{2}}⩽{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽{\displaystyle \frac{\left(2+4\right)\times 2}{2}}\end{array}$$

      Donc $5⩽{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽6$

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