sujet : Liban

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(x+8\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.
On note $f\prime$ sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,5}x-3\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

2. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(-2x-20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de f sur ce même intervalle.

   Dire que F est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

3. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

partie b : applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A. Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.

2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à 10 objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros.

   Définition

   Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

3. L'élasticité $E\left(x\right)$ de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % de x. On admet qu'une bonne approximation de $E\left(x\right)$ est donnée par :$$E\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}\times x$$

   1. Démontrer que $E\left(x\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}$.

   2. Déterminer le signe de $E\left(x\right)$ sur $\left[0;+\infty \right[$ et interpréter ce résultat.

   3. Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à $-\mathrm{3,5}$. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?

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