sujet : Liban

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

a − recherche d'un ajustement affine

1. Donner à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième).

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{14,1}x+\mathrm{40,8}$$ (coefficients arrondis au dixième).

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2. 1. D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 2005 ?

      Le rang de l'année 2005 est 30. D'où une estimation de la production de : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{14,1}\times 30+\mathrm{40,8}& =& \mathrm{463,8}\end{array}$$

      D'après cet ajustement, la production d'électricité nucléaire en France en 2005 serait de 463,8 milliards de kWh.

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   2. En réalité, en 2005, la production d'électricité nucléaire a été de 430 milliards de kWh. Calculer le pourcentage de l'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,1 % près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine.

      Le pourcentage de l'erreur commise par rapport à la valeur réelle est : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{463,8}-430}{430}}\times 100& \approx & \mathrm{7,9}\end{array}$$

      Avec cet ajustement, l'erreur commise par rapport à la valeur réelle est d'environ 7,9 %.

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b − un autre modèle

Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de $\left[4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=197\ln x-237$.

1. Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 2005. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

   La production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle est : $$\begin{array}{ccccc}f\left(30\right)& =& 197\ln 30-237& \approx & 433\end{array}$$

   La production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 2005 serait de 433 milliards de kWh. Ce modèle est plus proche de la réalité.

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2. 1. Résoudre dans $\left[4;+\infty \right[$ l'inéquation $f\left(x\right)⩾460$.

      Sur l'intervalle $\left[4;+\infty \right[$, $$\begin{array}{llll}f\left(x\right)⩾460& \iff & 197\ln x-237⩾460& \\ & \iff & 197\ln x-237⩾460& \\ & \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{697}{197}}& \\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{697}{197}}}& \text{La fonction exponentielle est strictement croissante.}\end{array}$$

      Nous avons ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{697}{197}}}\approx \mathrm{34,4}$ donc ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{697}{197}}}>4$.

      L'ensemble S solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾460$ est $S=\left[{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{697}{197}}};+\infty \right[$.

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   2. Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh ?

      Le rang n de l'année à partir de laquelle on peut prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh, est le plus petit entier supérieur à ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{697}{197}}}$. Donc $n=35$.

      Avec ce modèle, on peut prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh en 2010.

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