sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une consommatrice apprécie deux types de fruits A et B. En un mois, elle achète x kilos de fruits A et y kilos de fruits B; x et y appartiennent à l'intervalle $\left[0;10\right]$.
Son niveau de satisfaction est modélisé par la relation $f\left(x;y\right)=\ln y+2\ln x$
La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d'équation $z=f\left(x;y\right)$ pour $1⩽x⩽10$ et $1⩽y⩽10$.

1. Le point N, d'ordonnée 5 et de cote ln 30, appartient à la surface. Calculer la valeur exacte de son abscisse.

   Le point $N\left(x;5;\ln 30\right)$ appartient à la surface, si et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de la surface. Soit $$\begin{array}{lll}\ln 30=\ln 5+2\ln x& \iff & 2\ln x=\ln 30-\ln 5\\ & \iff & 2\ln x=\ln 6\\ & \iff & \ln x={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 6\\ & \iff & \ln x=\ln \sqrt{6}\\ & \iff & x=\sqrt{6}\end{array}$$

   Le point N a pour coordonnées $N\left(\sqrt{6};5;\ln 30\right)$

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2. On peut estimer que le kilo de fruits A coûte 3 euros et que celui de fruits B coûte 2 euros. La consommatrice décide de ne pas dépenser plus de 36 euros par mois pour ces fruits.

   1. Donner la relation entre les quantités x et y de fruits A et B achetées pour un montant de 36 euros.

      x et y vérifient $3x+2y=36$ avec $1⩽x⩽10$ et $1⩽y⩽10$.

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   2. Montrer qu'alors le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à $\ln \left(18-\mathrm{1,5}x\right)+2\ln x$.

      Avec un budget de 36 euros, les quantités x et y de fruits A et B sont liées par la relation $$\begin{array}{lll}3x+2y=36& \iff & 2y=36-3x\\ & \iff & y=18-\mathrm{1,5}x\end{array}$$

      Avec un budget de 36 euros, le niveau de satisfaction de la consommatrice est égal à $\ln \left(18-\mathrm{1,5}x\right)+2\ln x$.

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   3. Démontrer que, sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, la fonction g définie par $g\left(x\right)=\ln \left(18-\mathrm{1,5}x\right)+2\ln x$ admet un maximum pour une valeur $x_0$ que l'on précisera.

      Étudions les variations de la fonction g

      • Soit $g\prime$ la dérivée de la fonction g. $g\prime$ est définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par $$\begin{array}{ccccccc}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}}{18-\mathrm{1,5}x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}& =& {\displaystyle \frac{-\mathrm{1,5}x+36-3x}{x\left(18-\mathrm{1,5}x\right)}}& =& {\displaystyle \frac{36-\mathrm{4,5}x}{x\left(18-\mathrm{1,5}x\right)}}\end{array}$$

      • Étudions le signe de $g\prime$

        Sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, $x>0$ et $18-\mathrm{1,5}x>0$. Donc le signe de $g\prime \left(x\right)$ est le même que celui de l'expression $36-\mathrm{4,5}x$

        x	1		8		10
        $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{36-\mathrm{4,5}x}{x\left(18-\mathrm{1,5}x\right)}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Tableau des variations de la fonction g

        x	1			8		10
        $g\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
        $g\left(x\right)$				$g\left(8\right)$

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      D'après le tableau des variations, sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ , la fonction g admet un maximum atteint pour la valeur $x_0=8$.

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   4. Quelles quantités de fruits A et de fruits B la consommatrice doit-elle acheter dans le mois si elle veut optimiser son niveau de satisfaction tout en respectant sa contrainte de budget ?

      Avec un budget de 36 euros, le niveau de satisfaction est maximal pour $x_0=8$ . D'où $$y_0=18-\mathrm{1,5}\times 8=6$$

      Avec un budget de 36 euros, le niveau de satisfaction est maximal pour 8 kilos de fruits A et 6 kilos de fruits B.

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