sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Donner les probabilités suivantes : $p\left(H\right)$, $p_F\left(\overline{C}\right)$, $p_F\left(C\right)$ et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

   • 40 % des membres sont des hommes donc $p\left(H\right)=\mathrm{0,4}$

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   • Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs $p_F\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,05}$

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   • Or $p_F\left(C\right)=1-p_F\left(\overline{C}\right)$ donc $p_F\left(C\right)=\mathrm{0,95}$

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   D'où l'arbre pondéré modélisant la situation

2. 1. Déterminer $p\left(F\cap C\right)$.

      $$p\left(F\cap C\right)=p_F\left(C\right)\times p\left(F\right)$$ Or$p\left(F\right)=p\left(\overline{H}\right)=1-p\left(F\right)=\mathrm{0,6}$ donc $$p\left(F\cap C\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,57}$$

      Ainsi, la probabilité de tirer au hasard la fiche d'une femme inscrite aux cours collectifs est $p\left(F\cap C\right)=\mathrm{0,57}$

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   2. Montrer que $p\left(H\cap C\right)=\mathrm{0,08}$.

      65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs donc $p\left(H\right)=\mathrm{0,65}$

      Les évènements H et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(C\right)=p\left(H\cap C\right)+p\left(F\cap C\right)& \iff & p\left(H\cap C\right)=p\left(C\right)-p\left(F\cap C\right)\\ & \text{Soit}& p\left(H\cap C\right)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,57}=\mathrm{0,08}\end{array}$$

      La probabilité de tirer au hasard la fiche d'un homme inscrit aux cours collectifs est $p\left(H\cap C\right)=\mathrm{0,08}$

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   3. On tire la fiche d'un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement C sachant que l'évènement H est réalisé. $$\begin{array}{lll}{p}_H\left(C\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(H\cap C\right)}{p\left(H\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

      La probabilité que la fiche d'un homme soit celle d'un membre inscrit aux cours collectifs est $p_H\left(C\right)=\mathrm{0,2}$

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   4. Compléter l'arbre pondéré de la question 1.

3. On choisit au hasard une fiche d'un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un homme ? (donner la valeur décimale arrondie au centième).

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement H sachant que l'évènement $\overline{C}$ est réalisé. $$\begin{array}{llll}& p_{\overline{C}}\left(H\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(H\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}\\ \text{Soit}& p_{\overline{C}}\left(H\right)& =& {\displaystyle \frac{p_H\left(\overline{C}\right)\times p\left(H\right)}{1-p\left(C\right)}}\\ & & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,4}}{1-\mathrm{0,65}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,32}}{\mathrm{0,35}}}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité que la fiche d'un membre non inscrit aux cours collectifs soit celle d'un homme est 0,91.

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4. Pour vérifier la bonne tenue de son fichier, la personne chargée de la gestion de ce club prélève une fiche au hasard et la remet après consultation. Elle procède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs ?

   Après chaque tirage, la fiche est remise en place, il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de fiches de membres non inscrits aux cours collectifs est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,35.

   L'évènement A "au moins une des fiches est celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs" est l'évènement contraire de l'évènement B "les trois fiches sont celles de membres inscrits aux cours collectifs" $$\begin{array}{ccc}p\left(B\right)={\mathrm{0,65}}^3& \text{donc}& p\left(A\right)=1-{\mathrm{0,65}}^3=\mathrm{0,725375}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs est 0,73.

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