sujet : Liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(x+8\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,5}x-3\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$. Donc le signe de $f\prime \left(x\right)$ est le même que celui de l'expression $-\mathrm{0,5}x-3$. Or $$\begin{array}{ccc}-\mathrm{0,5}x-3<0& \iff & x>-6\end{array}$$

   Sur $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante.

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2. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(-2x-20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de f sur ce même intervalle.

   Dire que F est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x positif, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=-2x-20& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

   Alors, la fonction $F=u\times v$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et $F\prime =u\prime v+uv\prime$ . D'où $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(-2x-20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(-2+x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(x+8\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

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3. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(2\right)\\ & =& \left(-2\times 4-20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 4}-\left(-2\times 2-20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 2}\\ & =& -28{\mathrm{e}}^{-2}+24{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=24{\mathrm{e}}^{-1}-28{\mathrm{e}}^{-2}$. Donc $I\approx \mathrm{5,04}$

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partie b : applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A. Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.

   $f\left(2\right)=10{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{3,679}$

   Lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros, arrondie à l'unité près, la demande est de 3679 objets.

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2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à 10 objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros.

   La valeur moyenne de la fonction f sur $\left[0;4\right]$ est par définition :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$$$\begin{array}{ccc}\mu ={\displaystyle \frac{1}{4-2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& \mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(24{\mathrm{e}}^{-1}-28{\mathrm{e}}^{-2}\right)=12{\mathrm{e}}^{-1}-14{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{2,52}\end{array}$$

   Lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros, la demande moyenne à 10 objets près est de 2520 objets.

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3. L'élasticité $E\left(x\right)$ de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % de x. On admet qu'une bonne approximation de $E\left(x\right)$ est donnée par :$$E\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}\times x$$

   1. Démontrer que $E\left(x\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}$.

      $$\begin{array}{ccccc}E\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-\mathrm{0,5}x-3\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}}{\left(x+8\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}}}\times x& =& {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}\end{array}$$

   2. Déterminer le signe de $E\left(x\right)$ sur $\left[0;+\infty \right[$ et interpréter ce résultat.

      $$\begin{array}{ccccc}E\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}& =& {\displaystyle \frac{x\left(-\mathrm{0,5}x-3\right)}{x+8}}\end{array}$$

      Or sur $\left[0;+\infty \right[$, $-\mathrm{0,5}x-3<0$ et $x+8>0$ donc $E\left(x\right)<0$

      Sur $\left[0;+\infty \right[$, l'élasticité $E\left(x\right)$ est négative. C'est à dire que pour une augmentation de prix de 1%, la variation en pourcentage de la demande correspond à une baisse.

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   3. Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à $-\mathrm{3,5}$. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$,$$\begin{array}{lll}E\left(x\right)=-\mathrm{3,5}& \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}=-\mathrm{3,5}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x}{x+8}}+\mathrm{3,5}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2-3x+\mathrm{3,5}x+28}{x+8}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{0,5}x+28}{x+8}}=0\end{array}$$

      Cherchons les solutions positives de l'équation du second degré $-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{0,5}x+28=0$ avec $a=-\mathrm{0,5}$, $b=\mathrm{0,5}$ et $c=28$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }={\mathrm{0,5}}^2-4\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\times \left(-28\right)=\mathrm{56,25}& \text{donc}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{7,5}\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}-\mathrm{7,5}}{-1}}=8& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,5}+\mathrm{7,5}}{-1}}=-7\end{array}$$

      La solution négative ne convenant pas, $$\begin{array}{ccc}E\left(x\right)=-\mathrm{3,5}& \iff & x=8\end{array}$$

      L'élasticité est égale à $-\mathrm{3,5}$ pour un prix unitaire de 800 euros. Par conséquent, lorsque le prix passe de 800 à 808 euros, la demande baisse de 3,5 %.

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