sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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La courbe C ci-dessous est une partie de la courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $I=\left[-4;4\right]$. La droite T tangente à la courbe C au point $A\left(0;\mathrm{1,5}\right)$ passe par le point $B\left(3;0\right)$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f .

1. $f\prime \left(0\right)$ est égal à :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point $A\left(0;\mathrm{1,5}\right)$ . D'où $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{0-\mathrm{1,5}}{3-0}}=-\mathrm{0,5}\end{array}$$

   Réponse A : 1,5

   Réponse B : − 0,5

   Réponse C : 0,5

2. $f\prime \left(x\right)⩽0$ si x appartient à l'intervalle :

   • Sur l'intervalle $\left[-4;-1\right]$ la fonction f est dérivable et croissante alors $f\prime \left(x\right)⩾0$
   • Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ la fonction f n'est pas monotone alors $f\prime \left(x\right)$ n'est pas de signe constant.
   • Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction f est dérivable et décroissante alors $f\prime \left(x\right)⩽0$

   Réponse A : $\left[-4;-1\right]$

   Réponse B : $\left[1;3\right]$

   Réponse C : $\left[0;1\right]$

3. ${\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est un nombre de l'intervalle :

   Exprimée en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe C, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=-2$ et l'axe des ordonnées est comprise entre l'aire du rectangle de côtés 2 × 1 et l'aire du carré de côté 2. Donc $$2⩽{\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽4$$

   Réponse A : $\left[0;2\right]$

   Réponse B : $\left[2;4\right]$

   Réponse C : $\left[4;6\right]$

4. L'équation $\ln \left[f\left(x\right)\right]=0$ a exactement :

   $$\begin{array}{ccc}\ln \left[f\left(x\right)\right]=0& \iff & f\left(x\right)=1\end{array}$$ Or la droite d'équation $y=1$ coupe la courbe C en trois points donc l'équation $f\left(x\right)=1$ a 3 solutions

   Réponse A : 1 solution

   Réponse B : 2 solutions

   Réponse C : 3 solutions

5. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[-4;1\right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$. La fonction g est croissante sur l'intervalle :

   Les fonctions f et $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$ ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas.

   Réponse A : $\left[-3;-1\right]$

   Réponse B : $\left[-2;1\right[$

   Réponse C : $\left[0;1\right[$

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