sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Construire le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, avec i compris entre 1 et 5, associé à cette série statistique. On prendra comme unité graphique 2 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 1 000 euros en ordonnée. On commencera les graduations au point de coordonnées $\left(0;6000\right)$.

2. On pose, pour i variant de 1 à 5, $z_i=\ln y_i$

   1. Calculer $z_i$ en arrondissant les valeurs à 10^{− 3} près.

      Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5
      $y_i$	6 096	7 602	9 170	11 155	15 385
      $z_i=\ln y_i$	8,715	8,936	9,124	9,320	9,641

   2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,48}$ (coefficients arrondis au centième)

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   3. En déduire que l'on peut écrire une relation entre y et x sous la forme : $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ avec $A\approx 4817$ et $B\approx \mathrm{0,22}$.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}x+\mathrm{8,48}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{8,48}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}x}\end{array}$$ Or ${\mathrm{e}}^{\mathrm{8,48}}\approx 4817$

      Ainsi, une approximation du montant annuel des remboursements y en fonction du rang x de l'année est $y=4817{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}x}$

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   4. En supposant, que cet ajustement reste valable en 2008, estimer le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008, arrondi à l'euro.

      Le rang de l'année 2008 est 6, d'ù une estimation du montant en euros du remboursement pour 2008 : $$4817\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}\times 6}\approx \mathrm{18032,1}$$

      Avec cet ajustement, le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008 serait de 18 032 €.

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3. Ce ménage disposait de 50 000 euros de revenu annuel en 2006. On estime que son revenu annuel augmente de 2 % par an. La banque alerte ses clients lorsque le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant des revenus.
   En quelle année la banque alertera-t-elle ce ménage ? Justifier.

   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation annuelle de 2% est égal à 1,02 donc en 2008, le revenu annuel de ce ménage serait de $$50000\times {\mathrm{1,02}}^2=52020$$

   Par conséquent, dès 2008 le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant du revenu annuel.

   Établissons ce résultat d'une manière plus générale :

   • Pour tout entier $n⩾4$, notons $R_n$ le montant en euros du revenu annuel de ce ménage l'année de rang n.

     Nous avons donc $R_4=50000$ et pour tout entier $n⩾4$, $R_{n+1}=\mathrm{1,02}{R}_n$.

     La suite $\left(R_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $R_4=50000$ donc pour tout entier $n⩾4$, $R_n=50000\times {\mathrm{1,02}}^{n-4}$

   • Le rang de l'année où le montant des remboursements dépasse le tiers des montants des revenus est le plus petit entier n solution de l'inéquation : $$\begin{array}{lll}4817{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}n}⩾{\displaystyle \frac{50000\times {\mathrm{1,02}}^{n-4}}{3}}& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}n}⩾{\displaystyle \frac{50000}{4817\times 3\times {\mathrm{1,02}}^4}}\times {\mathrm{1,02}}^n\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,22}n}⩾{\displaystyle \frac{50000}{14451\times {\mathrm{1,02}}^4}}\times {\mathrm{e}}^{n\times \ln \mathrm{1,02}}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{n\left(\mathrm{0,22}-\ln \mathrm{1,02}\right)}⩾{\displaystyle \frac{50000}{14451\times {\mathrm{1,02}}^4}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{n\left(\mathrm{0,22}-\ln \mathrm{1,02}\right)}\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{50000}{14451\times {\mathrm{1,02}}^4}}\right)\\ & \iff & n\left(\mathrm{0,22}-\ln \mathrm{1,02}\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{50000}{14451\times {\mathrm{1,02}}^4}}\right)\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{50000}{14451\times {\mathrm{1,02}}^4}}\right)}{\mathrm{0,22}-\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{5,8}\end{array}$$

     Ainsi, le rang de l'année où le montant des remboursements dépassera le tiers du revenu annuel est 6.

   C'est en 2008 que la banque alertera ce ménage.

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