sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

i étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ où $f\prime$ désigne la dérivée  f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

2. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et vérifier que f admet un minimum en 0,8.

ii application économique

Une entreprise fabrique des objets. $f\left(x\right)$ est le coût total de fabrication, en milliers d'euros, de x centaines d'objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6 €.

1. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ?

2. Le résultat (recette moins coûts), en milliers d'euros, obtenu par la vente de x centaines d'objet est : $R\left(x\right)=\mathrm{0,1}x-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$.

   1. Étudier les variations de R sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   2. Montrer que l'équation $R\left(x\right)=0$ a une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Déterminer un encadrement de α à 10^{− 2} près.

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   3. En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.

      Dire que l'entreprise réalise un bénéfice signifie que $R\left(x\right)>0$.

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