sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

i étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ où $f\prime$ désigne la dérivée  f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)=-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}$ d'où $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}$.

   $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ d'où $f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}+u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$.

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2. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et vérifier que f admet un minimum en 0,8.

   Étudions le signe de la dérivée :

   $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)⩽0& \iff & \mathrm{0,5}\times \left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}\right)⩽0\\ & \iff & -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}⩽-1\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}⩾1\\ & \iff & -\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}⩾0\\ & \iff & x⩽\mathrm{0,8}\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée :

   x	0		0,8		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			1,4

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   D'après le tableau des variations, la fonction f admet un minimum en 0,8 et $f\left(\mathrm{0,8}\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,8}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,4}}=\mathrm{1,4}$.

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ii application économique

Une entreprise fabrique des objets. $f\left(x\right)$ est le coût total de fabrication, en milliers d'euros, de x centaines d'objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6 €.

1. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ?

   La fonction f admet un minimum en 0,8 donc le coût total de fabrication est minimum pour la production de 80 objets.

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2. Le résultat (recette moins coûts), en milliers d'euros, obtenu par la vente de x centaines d'objet est : $R\left(x\right)=\mathrm{0,1}x-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$.

   1. Étudier les variations de R sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      • méthode 1 :

        La fonction $g:x⟼{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$ est la composée de la fonction affine  $u:x⟼-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}$ suivie de la fonction exponentielle.
        Or u est strictement décroissante donc $g={\mathrm{e}}^u$ est strictement décroissante.
        Par conséquent, la fonction  $-g:x⟼-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$ est strictement croissante.

        Il s'ensuit, que R est une fonction strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes.

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      • méthode 2 :

        La dérivée de la fonction R est la fonction $R\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$R\prime \left(x\right)=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}$$

        Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}>0$

        Il s'ensuit, que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $R\prime \left(x\right)>0$. Donc R est une fonction strictement croissante.

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   2. Montrer que l'équation $R\left(x\right)=0$ a une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Déterminer un encadrement de α à 10^{− 2} près.

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}=0$ . D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,1}x-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,4}}=+\infty$.

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }R\left(x\right)=+\infty$.

      • $R\left(0\right)=-{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}}$ donc $R\left(0\right)<0$.

      • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, la fonction R est continue et strictement croissante et $R\left(x\right)\in [-{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}}+\infty [$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

        Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ l'équation $R\left(x\right)=0$ admet une unique solution α.

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      • À l'aide de la calculatrice, on obtient des encadrements successifs de α$$\begin{array}{ccc}R\left(3\right)\approx -\mathrm{0,033}\text{ et }R\left(4\right)\approx \mathrm{0,198}& \Rightarrow & 3<\alpha <4\\ R\left(\mathrm{3,1}\right)\approx -\mathrm{0,007}\text{ et }R\left(\mathrm{3,2}\right)\approx \mathrm{0,019}& \Rightarrow & \mathrm{3,1}<\alpha <\mathrm{3,2}\\ R\left(\mathrm{3,12}\right)\approx -\mathrm{0,001}\text{ et }R\left(\mathrm{3,13}\right)\approx \mathrm{0,001}& \Rightarrow & \mathrm{3,12}<\alpha <\mathrm{3,13}\end{array}$$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ l'équation $R\left(x\right)=0$ admet une unique solution α avec $\mathrm{3,12}<\alpha <\mathrm{3,13}$ .

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   3. En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.

      Dire que l'entreprise réalise un bénéfice signifie que $R\left(x\right)>0$. Or la fonction R étant strictement croissante, $$\begin{array}{ccc}R\left(x\right)>0& \iff & x>\alpha \end{array}$$

      Pour que cette entreprise réalise un bénéfice elle doit produire et vendre au moins 313 objets.

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