sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne en euros le montant des remboursements annuels $y_i$ effectués de 2003 à 2007 par un ménage, à la suite de divers emprunts :

Année	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5
$y_i$	6 096	7 602	9 170	11 155	15 385

1. Construire le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, avec i compris entre 1 et 5, associé à cette série statistique. On prendra comme unité graphique 2 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 1 000 euros en ordonnée. On commencera les graduations au point de coordonnées $\left(0;6000\right)$.

2. On pose, pour i variant de 1 à 5, $z_i=\ln y_i$

   1. Calculer $z_i$ en arrondissant les valeurs à 10^{− 3} près.

   2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice seront arrondis au centième.

   3. En déduire que l'on peut écrire une relation entre y et x sous la forme : $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ avec $A\approx 4817$ et $B\approx \mathrm{0,22}$.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp \left(z\right)$

   4. En supposant, que cet ajustement reste valable en 2008, estimer le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008, arrondi à l'euro.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Ce ménage disposait de 50 000 euros de revenu annuel en 2006. On estime que son revenu annuel augmente de 2 % par an. La banque alerte ses clients lorsque le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant des revenus.
   En quelle année la banque alertera-t-elle ce ménage ? Justifier.

   Calculer le montant du revenu en 2008.

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