sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

   • 30 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20 % des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition alors $p\left(L\right)=\mathrm{0,3}$, $p\left(A\right)=\mathrm{0,2}$ et $p\left(C\right)=1-\left(\mathrm{0,3}+\mathrm{0,2}\right)=\mathrm{0,5}$

   • 20 % des adhérents de la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre, 30 % des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre alors $p_L\left(R\right)=\mathrm{0,2}$, $p_A\left(R\right)=\mathrm{0,25}$ et $p_C\left(\overline{R}\right)=\mathrm{0,3}$ d'où $p_C\left(R\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

2. 1. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.

      $\begin{array}{ccc}p\left(C\cap R\right)=p_C\left(R\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap R\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,35}\end{array}$

      La probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre est égale à 0,35.

      ---

   2. Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre. Justifier son affirmation par un calcul.

      • 30 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir et 20 % des adhérents de la section loisir participent à cette rencontre donc , 80% des des adhérents de la section loisir ne participent pas à cette rencontre.
        Ce qui représente 24% des adhérents. ($\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,24}$)

      • 20 % des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre donc , 75% des des adhérents de la section aquagym ne participent pas à cette rencontre.
        Ce qui représente 15% des adhérents. ($\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,75}=\mathrm{0,15}$)

      • 50 % des adhérents au club pratiquent la natation en compétition et 30 % des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
        Ce qui représente 15% des adhérents.($\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,15}$)

      Or $\mathrm{0,24}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,15}=\mathrm{0,54}$

      Ainsi, 54% des adhérents ne participent pas à la rencontre.

      ---

      Remarque :

      Il possible de répondre à cette question en utilisant un calcul de probabilité :

      Les évènements A, C et L déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(R\right)=p\left(A\cap R\right)+p\left(C\cap R\right)+p\left(L\cap R\right)$$

      Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(A\cap R\right)=p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)& \text{et}& p\left(L\cap R\right)=p_L\left(R\right)\times p\left(L\right)\\ \text{soit}& p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,05}& \text{et}& p\left(L\cap R\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,06}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(R\right)=\mathrm{0,05}+\mathrm{0,35}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,46}& \text{et}& p\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,46}=\mathrm{0,54}\end{array}$$

      Donc 54% des adhérents ne participent pas à la rencontre.

      ---

3. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition. Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10^{− 2} près.

   • Pour les candidats qui n'ont pas calculé la probabilité de l'évènement « La personne interrogée participe à la rencontre » :
     54% des adhérents ne participent pas à la rencontre donc $p\left(\overline{R}\right)=\mathrm{0,54}$ et $p\left(R\right)=1-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,46}$

   • Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement « La personne interrogée pratique la natation en compétition » sachant que l'évènement « La personne interrogée participe à la rencontre » est réalisé : $$\begin{array}{ccc}{p}_R\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap R\right)}{p\left(R\right)}}& \text{soit}& p_R\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,35}}{\mathrm{0,46}}}\approx \mathrm{0,76}\end{array}$$

   La probabilité qu'une personne participant à la rencontre soit dans la section compétition est égale à 0,76.

   ---

4. Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100 € et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 €. De plus, une somme de 15 € est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
   On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).

   1. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S :

      $\begin{array}{ccc}p\left(C\cap \overline{R}\right)=p_C\left(\overline{R}\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap \overline{R}\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,15}\end{array}$

      La probabilité que la somme payée soit de 100 € est égale à 0,15. Par conséquent, la probabilité que la somme payée soit de 60 € est égale à :$$1-\left(\mathrm{0,11}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,35}\right)=\mathrm{0,39}$$

      D'où le tableau établissant la loi de probabilité de la somme payée par les adhérents :

      $S_i$	60	75	100	115
      $P_i$	0,39	0,11	0,15	0,35

      ---

   2. Calculer l'espérance mathématique de S et interpréter ce nombre.

      L'espérance mathématiqueSoit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$  μ de la loi de probabilité associée à la somme annuelle payée par un adhérent S est : $$\mu =\mathrm{0,39}\times 60+\mathrm{0,11}\times 75+\mathrm{0,15}\times 100+\mathrm{0,35}\times 115=\mathrm{86,9}$$

      La somme annuelle moyenne payée par un adhérent est de 86,9 €

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.