Baccalauréat 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
50 % des clients choisissent la destination A ;
30 % des clients choisissent la destination G;
20 % des clients choisissent la destination M.

Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction. Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90 % des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80 % des clients ayant choisi la destination G.

On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.
On note les évènements :

A : « le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A » ;
G : « le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G» ;
M : « le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M» ;
S : « le questionnaire est celui d'un client satisfait » ;
$\bar{S}$ : « le questionnaire est celui d'un client insatisfait ».

Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.
1. Traduire par une phrase les évènements $G \cap S$ et $M \cap S$ puis calculer les probabilités $P (G \cap S)$ et $P (M \cap S)$ .
  - $G \cap S$ est l'évènement : « le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G et satisfait». $\begin{array}{l} P (G \cap S) & = & P_{G} (S) \times P (G) \\ = & 0,8 \times 0,3 \\ = & 0,24 \end{array}$
    La probabilité que le questionnaire soit celui d'un client ayant choisi la destination G et satisfait est égale à 0,24.
  - $M \cap S$ est l'évènement : « le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M et satisfait». $\begin{array}{l} P (M \cap S) & = & P_{M} (S) \times P (M) \\ = & 0,9 \times 0,2 \\ = & 0,18 \end{array}$
    La probabilité que le questionnaire soit celui d'un client ayant choisi la destination M et satisfait est égale à 0,18.
2. L'enquête montre que 72 % des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P (A \cap S)$ .
  Il n'y a que trois destinations donc A, M et G forment une partition de l'ensemble des résultats alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{l} P (S) = P (A \cap S) + P (G \cap S) + P (M \cap S) & \Leftrightarrow & P (A \cap S) = P (S) - P (G \cap S) - P (M \cap S) \\ Soit & P (A \cap S) = 0,72 - 0,24 - 0,18 = 0,3 \end{array}$
  Ainsi, $P (A \cap S) = 0,3$
3. En déduire $P_{A} (S)$ , probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.
  $\begin{array}{l} P_{A} (S) & = & \frac{P (A \cap S)}{P (A)} \\ = & \frac{0,3}{0,5} \\ = & 0,6 \end{array}$
  La probabilité qu'un client ayant choisi la destination A soit satisfait est égale à 0,6.
Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
Il s'agit de calculer la probabilité $P_{S} (G)$ de l'évènement G sachant que l'évènement S est réalisé. $\begin{array}{l} P_{S} (G) & = & \frac{P (G \cap S)}{P (S)} \\ = & \frac{0,24}{0,72} \\ = & \frac{1}{3} \end{array}$
La probabilité qu'un client satisfait ait choisi la destination G est égale à $\frac{1}{3}$ .
On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d'enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants.
Calculer la probabilité de l'évènement : « les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits » (on donnera le résultat arrondi au millième).
La probabilité qu'un questionnaire soit celui d'un client insatisfait est $P (\bar{S}) = 1 - P (S) = 1 - 0,72 = 0,28$
Prélever successivement au hasard trois questionnaires de manière indépendante, est assimilé à la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de personnes insatisfaites est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,28
La probabilité de l'évènement : « les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits » est donc ${0,28}^{3} \approx 0,022$
Arrondie au millième, la probabilité que les trois questionnaires soient ceux de clients insatisfaits est 0,022.

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