Baccalauréat 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x)=(ax+b)ex-1+ca, b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
On note f la fonction dérivée de f .
La courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-dessous.
La courbe C passe par le point A(1;5), elle admet la droite D comme tangente en ce point. Le point B(0;2) appartient à la droite D.
La courbe C admet également une tangente horizontale au point d'abscisse -12 .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

    1. Préciser les valeurs de f(1) et f(-12).

      • Le point A(1;5) appartient à la courbe C donc f(1)=5


      • La tangente à la courbe C au point d'abscisse -12 est parallèle à l'axe des abscisses donc f(-12)=0


    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite D. En déduire f(1)

      Les points A(1;5) et B(0;2) appartiennent à la droite D donc le coefficient directeur m de la droite D est m=yB-yAxB-xASoitm=2-50-1=3

      La droite D est tangente en A à la courbe C donc f(1)=3


  1. Montrer que, pour tout réel x, f(x)=(ax+a+b)ex-1

    f(x)=(ax+b)ex-1+c. Pour tout réel x, posons {u(x)=ax+b d'où u(x)=a et v(x)=ex-1 d'où v(x)=ex-1

    alors f=uv+c est dérivable et f=uv+uv+0.

    Soit pour tout réel x, f(x)=aex-1+(ax+b)ex-1=ex-1×(a+ax+b)

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=(ax+a+b)ex-1.


  2. Montrer que a, b et c vérifient le système :{a+b+c=5a+2b=02a+b=3. Déterminer les valeurs de a, b et c.

    • f(1)=5 donc (a+b)e0+c=5a+b+c=5.

    • f(-12)=0 donc (12a+b)e-32=012a+b=0a+2b=0.

    • f(1)=3 donc (2a+b)e0=32a+b=3.

    Ainsi, a, b et c sont solutions du système : {a+b+c=5a+2b=02a+b=3{a+b+c=5a+2b=03a=6L32×L3-L2{c=4b=-1a=2

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=(2x-1)ex-1+4.


partie b

On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel x, f(x)=(2x-1)ex-1+4.

    1. Déterminer limx+f(x).

      limx+2x-1=+ et limx+ex-1=+ donc par produit, limx+f(x)=+


    2. Vérifier que, pour tout réel x, f(x)=2exex-1eex+4.
      En déduire limx-f(x) (on rappelle quelimx-xex=0). Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

      Pour tout réel x, (2x-1)ex-1+4=(2x-1)exe+4=2exex-1eex+4

      limx-xex=0 donc limx-2exex=0 et limx-ex=0 donc limx-1eex=0 alors, par somme, limx-2exex-1eex+4=4

      limx-f(x)=4 donc la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation y=4 au voisinage de -.


    1. Donner, pour tout réel x, l'expression de f(x).

      D'après la partie A, f est la fonction définie sur par f(x)=(ax+a+b)ex-1 avec a=2 et b=-1.

      f est la fonction définie sur par f(x)=(2x+1)ex-1.


    2. Établir le tableau de variations de f. Déterminer le signe de f(x) pour tout réel x.

      Pour tout réel x, ex-1>0 donc sur , f(x) est du même signe que 2x+1.

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x- -12 +
      f(x) 0||+ 
      f(x)  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4-2e-32

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      f(-12)=(2×(-12)-1)e-12-1+4=-2e-32+4

      D'après le tableau de variation de f, le minimum de la fonction f est f(-12)=4-2e-32. Donc pour tout réel x, f(x)4-2e-32.

      Or 4-2e-323,55

      Donc pour tout réel x, f(x)>0.


    3. Montrer que l'équation f(x)=6 admet une unique solution réelle α sur l'intervalle [1;2]. On donnera un encadrement de α d'amplitude 0,1.

      Nous avons :f(1)=5etf(2)=3e+412,15

      Ainsi, sur l'intervalle [1;2], la fonction f est continue, strictement croissante et f(1)<6<f(2). D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      L'équation f(x)=6 admet une solution unique α située dans l'intervalle [1;2].


      À l'aide de la calculatrice, on détermine un encadrement d'amplitude 0,1 de α. Nous avons :f(1,2)5,7etf(1,3)=3e+46,2 d'où f(1,2)<6<f(1,3)

      D'après le théorème de la valeur intermédiaire, 1,2<α<1,3.


partie c

  1. On considère la fonction F définie pour tout réel x par F(x)=(2x-3)ex-1+4x. Montrer que F est une primitive de f sur .

    Pour tout réel x, F(x)=2ex-1+(2x-3)ex-1+4=ex-1×(2+2x-3)+4=(2x-1)ex-1+4

    Ainsi, pour tout réel x, F(x)=f(x) donc F est une primitive de f sur .


  2. Soit Δ la partie du plan située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.
    Calculer l'aire de la partie Δ exprimée en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au dixième.

    La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0;1] alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;𝚤,ȷ) .
    Si, pour tout réel x de l'intervalle [a;b],  f(x)0, alors abf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

    L'aire en unités d'aire du domaine Δ située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1 est égale à 01f(x)dx.

    01((2x-1)ex-1+4)dx=[(2x-3)ex-1+4x]01=((2-3)e0+4)-((-3)e-1)=3+3e-14,1

    L'aire de la partie Δ exprimée en unités d'aire est 3+3e-1. Soit environ 4,1 unités d'aire.



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