On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par où a, b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
On note la fonction dérivée de f .
La courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-dessous.
La courbe C passe par le point , elle admet la droite D comme tangente en ce point. Le point appartient à la droite D.
La courbe C admet également une tangente horizontale au point d'abscisse .
Préciser les valeurs de et .
Le point appartient à la courbe C donc
La tangente à la courbe C au point d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses donc
Déterminer le coefficient directeur de la droite D. En déduire
Les points et appartiennent à la droite D donc le coefficient directeur m de la droite D est
La droite D est tangente en A à la courbe C donc
Montrer que, pour tout réel x,
. Pour tout réel x, posons
alors est dérivable et .
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Montrer que a, b et c vérifient le système :. Déterminer les valeurs de a, b et c.
donc .
donc .
donc .
Ainsi, a, b et c sont solutions du système :
Ainsi, f est la fonction définie sur par .
On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel x, .
Déterminer .
et donc par produit,
Vérifier que, pour tout réel x, .
En déduire (on rappelle que). Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
Pour tout réel x,
donc et donc alors, par somme,
donc la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de .
Donner, pour tout réel x, l'expression de .
D'après la partie A, est la fonction définie sur par avec et .
est la fonction définie sur par .
Établir le tableau de variations de f. Déterminer le signe de pour tout réel x.
Pour tout réel x, donc sur , est du même signe que .
Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée.
x | |||||
− | + | ||||
D'après le tableau de variation de f, le minimum de la fonction f est . Donc pour tout réel x, .
Or
Donc pour tout réel x, .
Montrer que l'équation admet une unique solution réelle α sur l'intervalle . On donnera un encadrement de α d'amplitude 0,1.
Nous avons :
Ainsi, sur l'intervalle , la fonction f est continue, strictement croissante et . D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une solution unique située dans l'intervalle .
À l'aide de la calculatrice, on détermine un encadrement d'amplitude 0,1 de . Nous avons :
D'après le théorème de la valeur intermédiaire, .
On considère la fonction F définie pour tout réel x par . Montrer que F est une primitive de f sur .
Pour tout réel x,
Ainsi, pour tout réel x, donc F est une primitive de f sur .
Soit Δ la partie du plan située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Calculer l'aire de la partie Δ exprimée en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au dixième.
La fonction f est continue et positive sur l'intervalle alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que , f une fonction définie et continue sur l'intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Si, pour tout réel x de l'intervalle , , alors est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
L'aire en unités d'aire du domaine Δ située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à .
L'aire de la partie Δ exprimée en unités d'aire est . Soit environ 4,1 unités d'aire.
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