On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par où a, b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
On note la fonction dérivée de f .
La courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-dessous.
La courbe C passe par le point , elle admet la droite D comme tangente en ce point. Le point appartient à la droite D.
La courbe C admet également une tangente horizontale au point d'abscisse .
Préciser les valeurs de et .
Déterminer le coefficient directeur de la droite D. En déduire
Montrer que, pour tout réel x,
Montrer que a, b et c vérifient le système :
Déterminer les valeurs de a, b et c.
Utiliser , et
On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel x, .
Déterminer .
Vérifier que, pour tout réel x, .
En déduire (on rappelle que). Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
Donner ; pour tout réel x, l'expression de .
Établir le tableau de variations de f.
Déterminer le signe de pour tout réel x.
Montrer que l'équation admet une unique solution réelle α sur l'intervalle . On donnera un encadrement de α d'amplitude 0,1.
Penser au théorème de la valeur intermédiaire
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère la fonction F définie pour tout réel x par . Montrer que F est une primitive de f sur .
Dire que F est une primitive de f sur signifie que pour tout réel x, .
Soit Δ la partie du plan située entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Calculer l'aire de la partie Δ exprimée en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au dixième.
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