sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions de ce QCM, une et une seule des affirmations est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

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1. Si a et b sont deux réels tels que $2<a<b<4$, alors :

   Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ , f est une fonction strictement décoissante. Par conséquent, si a et b sont deux réels tels que $2<a<b<4$, alors $f\left(2\right)>f\left(a\right)>f\left(b\right)>f\left(4\right)$

   1. $f\left(a\right)>f\left(b\right)$

   2. $f\left(a\right)<f\left(b\right)$

   3. on ne peut pas comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

2. Le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ est :

   La fonction f dérivable sur l'intervalle $\left[-5;6\right]$ donc continue sur cet intervalle.

   • Sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$, le minimum de la fonction f est 1, atteint pour $x=-3$ . Donc sur cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une seule solution.

   • Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, la fonction f est continue, strictement décroissante à valeurs dans $\left[-2;4\right]$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une solution unique sur cet intervalle.

   • Sur l'intervalle $\left[4;6\right]$ , la fonction f est strictement croissante. Par conséquent, si x est un réel tel que $4⩽x⩽6$ alors $f\left(4\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(6\right)$ soit $f\left(x\right)⩽0$. Donc l'équation l'équation $f\left(x\right)=1$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

   1. 1

   2. 2

   3. 3

3. Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[-5;6\right]$, par définition, $${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(5\right)-F\left(4\right)$$

   Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]4;6\right[$, $f\left(x\right)<0$ . Donc les primitives de la fonction f sont des fonctions strictement décroissantes sur cet intervalle. Par conséquent, $$F\left(5\right)<F\left(4\right)\iff F\left(5\right)-F\left(4\right)<0$$

   1. ${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<0$

   2. ${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>0$

   3. avec les données, on ne peut pas connaître le signe de ${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

4. Si g est la fonction définie sur $\left[-5;6\right]$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$, alors :

   g est la restriction sur $\left[-5;6\right]$ d'une fonction affine strictement croissante.

   Tableau de valeurs de la fonction g

   x	− 5	− 3	2	4	6
   $g\left(x\right)$	− 3,5	− 2,5	0	1	2

   Les fonctions f et g sont continues et :

   • Sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$, $f\left(x\right)⩾1$ et $g\left(x\right)⩽0$. Donc l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

   • Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, $$\begin{array}{ccccc}-2⩽f\left(x\right)⩽4& \text{et}& 0⩽g\left(x\right)⩽1& \text{donc}& -3⩽f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽4\end{array}$$

     La somme de deux fonctions continues est une fonction continue. D'autre part, f et $-g$ sont deux fonctions strictement décroissantes donc leur somme $f-g$ est une une fonction strictement décroissante. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[2;4\right]$.

   • Sur l'intervalle $\left[4;6\right]$, $f\left(x\right)⩽0$ et $g\left(x\right)⩾1$. Donc l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

   1. l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ n'a pas de solution

   2. l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ a une unique solution

   3. on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

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