sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.

   Notons :
   $A_n$ l'évènement «un joueur fait partie de l'équipe A lors du match n» ;
   $B_n$ l'évènement «un joueur fait partie de l'équipe B lors du match n».

   • si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est 0,6 alors : $$\begin{array}{ccc}{p}_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}& \text{et}& p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}\end{array}$$
   • si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est 0,2 alors : $$\begin{array}{ccc}{p}_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}& \text{et}& p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}\end{array}$$

   Le graphe probabiliste qui représente la situation est :

   La matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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2. Pour un entier naturel n donné, on note $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match n.
   Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité $a_0$ qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match 0) est 0,1.
   L'état probabiliste initial est donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$

   1. Vérifier que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,24}& \mathrm{0,76}\end{array}\right)$ et calculer $P_2$.

      L'état probabiliste $P_1=P_0\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,2}& \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,4}+\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,24}& \mathrm{0,76}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste $P_2=P_1\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}{P}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,24}& \mathrm{0,76}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,24}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,76}\times \mathrm{0,2}& \mathrm{0,24}\times \mathrm{0,4}+\mathrm{0,76}\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,296}& \mathrm{0,704}\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi, $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,24}& \mathrm{0,76}\end{array}\right)$ et $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,296}& \mathrm{0,704}\end{array}\right)$

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   2. Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat (match 2) ? (on donnera la valeur approchée du résultat arrondie à 10⁻² près)

      Arrondie à 10⁻² près, la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat est 0,3

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3. On admet que, pour tout entier naturel n : $a_{n+1}=\mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,2}$. On pose, pour tout entier naturel n : $v_n=a_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0={\displaystyle \frac{-7}{30}}$.

      Pour tout $n⩾0$, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& a_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =& \left(\mathrm{0,4}{a}_n+\mathrm{0,2}\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =& \mathrm{0,4}{a}_n-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{3}}\\ & =& \mathrm{0,4}\left(a_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\\ & =& \mathrm{0,4}{v}_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,4}{v}_n$. Donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4.

      Le terme initial de la suite $\left(v_n\right)$ est : $$v_0=a_0-{\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{3}}$$

      La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0={\displaystyle \frac{-7}{30}}$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : $a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(1-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,4}}^n\right)$

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_0={\displaystyle \frac{-7}{30}}$, alors pour tout entier naturel n,$$v_n=\left({\displaystyle \frac{-7}{30}}\right)\times {\mathrm{0,4}}^n$$

      Soit pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{a}_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}=\left({\displaystyle \frac{-7}{30}}\right)\times {\mathrm{0,4}}^n& \iff & a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{30}}\times {\mathrm{0,4}}^n\\ & \iff & a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(1-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,4}}^n\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(1-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,4}}^n\right)$.

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   3. Déduire de ce qui précède la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Quel est l'état stable du graphe G ?

      Étudions la limite en $+\infty$ de la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(1-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,4}}^x\right)$

      $\mathrm{0,4}<1$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(1-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,4}}^x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

      La limite de la suite $\left(a_n\right)$ quand n tend vers l'infini est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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      La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ indépendant de l'état initial avec $a+b=1$. Donc $$b=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$

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