Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: La Réunion

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions de ce QCM, une et une seule des affirmations est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

Chacune des quatre propositions concerne une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -56, qui admet des primitives sur cet intervalle et dont on donne ci-dessous le tableau de variations :

x− 5 − 3 2 4 6
Variations de f

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

1

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

4

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− 2

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0

  1. Si a et b sont deux réels tels que 2<a<b<4, alors :

    1. fa>fb

    2. fa<fb

    3. on ne peut pas comparer fa et fb.

  2. Le nombre de solutions de l'équation fx=1 est :

    1. 1

    2. 2

    3. 3

    1. 45fxdx<0

    2. 45fxdx>0

    3. avec les données, on ne peut pas connaître le signe de 45fxdx

  3. Si g est la fonction définie sur -56 par gx=12x-1, alors :

    1. l'équation fx=gx n'a pas de solution

    2. l'équation fx=gx a une unique solution

    3. on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l'équation fx=gx


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Année 200120022003200420052006
Rang de l'année, xi123456
Chiffre d'affaire yi (en euros)160 000220 000290 000390 000540 000730 000
  1. Pour i=1,2,,5 on pose zi=lnyi.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à 10−2 près de chacun des résultats) :

      xi123456
      zi=lnyi      
    2. Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associés à la série statistique xizi dans un repère orthonormal du plan (unité : 2 cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).

    3. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme z=ax+b où les coefficients a et b seront arrondis à 10−2 près).

    4. Déduire de ce qui précède une expression de y en fonction de x sous la forme y=keax, où k est un réel à déterminer et a le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient k sera arrondi à l'unité).

  2. On note C la fonction définie sur l'intervalle 0+ par : Cx=120 000e0,3x.

    1. Résoudre par le calcul l'inéquation Cx2 000 000.

    2. On admet que Cxi représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang xi.
      Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
      À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les joueurs d'un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B.
L'entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, suivant les performances des joueurs.

Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d'estimer que :

  1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.

  2. Pour un entier naturel n donné, on note Pn=anbn la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match n.

    Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité a0 qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match 0) est 0,1.
    L'état probabiliste initial est donc P0=0,10,9

    1. Vérifier que P1=0,240,76 et calculer P2.

    2. Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat (match 2) ? (on donnera la valeur approchée du résultat arrondie à 10−2 près)

  3. On admet que, pour tout entier naturel n : an+1=0,4an+0,2.
    On pose, pour tout entier naturel n : vn=an-13

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,4 et de premier terme v0=-730.

    2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : an=131-0,7×0,4n

    3. Déduire de ce qui précède la limite de la suite an.
      Quel est l'état stable du graphe G ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les membres d'un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d'une audition. Dans le morceau qu'ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point.
En effet :

Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition.
On appelle G l'évènement : « le guitariste joue parfaitement le morceau ».
On appelle C l'évènement : « la chanteuse interprète le morceau sans faire d'erreur ».

  1. Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment.

    1. Déterminer la probabilité pGC que le groupe interprète la chanson sans erreur.

    2. Calculer la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe.

    3. Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau.

  2. Calculer pCG (on arrondira le résultat à 10−3 près) et interpréter concrètement ce résultat.

  3. On admet que la probabilité qu'aucun des membres du groupe ne commette d'erreur est 0,6. Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations étant indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 01000 par fx=89,5-8,9lnx+0,3 et dont on donne la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (voir figure 1).

  1. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle 01000.

  2. Montrer que résoudre l'inéquation fx45 revient à résoudre l'inéquation lnx+0,35. Résoudre cette inéquation.

    1. Démontrer que la fonction g définie sur l'intervalle 01000 par :gx=98,4x-8,9x+0,3lnx+0,3 est une primitive de f sur l'intervalle 01000.

    2. On rappelle que la valeur moyenne m de f sur un intervalle ab ( a et b étant deux éléments distincts de l'ensemble de définition de f ), est donnée par : m=1b-aabfxdx.
      Déterminer la valeur moyenne de f sur l'intervalle 200800 (on donnera une valeur approchée de ce résultat arrondi à l'unité).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

figure 1

partie b

Une éolienne doit être installée à proximité d'un village dont les habitants s'inquiètent de la nuisance sonore occasionnée. L'entreprise chargée de la fabrication de l'éolienne transmet donc les renseignements suivants :

  1. En utilisant le graphique donné, déterminer à quelle distance du centre de l'éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40 dB.

  2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Le centre du rotor de l'éolienne est situé à 70 m de hauteur (voir le schéma donné ci-dessous). Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du pied de l'éolienne.
    À quelle distance du pied de l'éolienne doit-t-on le placer pour que le niveau sonore enregistré soit égal à 45 dB ? (le résultat sera arrondi à l'unité)
    Expliquer la démarche suivie.

    Schéma de l'éolienne : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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✉ A.Yallouz

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