sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année, $x_i$	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaire $y_i$ (en euros)	160 000	220 000	290 000	390 000	540 000	730 000

1. Pour $i=1,2,\dots ,5$ on pose $z_i=\ln y_i$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à 10⁻² près de chacun des résultats) :

      $x_i$	1	2	3	4	5	6
      $z_i=\ln y_i$

   2. Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_i;z_i\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité : 2 cm en commençant à la graduation 10 sur l'axe des ordonnées).

   3. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme $z=ax+b$ où les coefficients a et b seront arrondis à 10⁻² près).

   4. Déduire de ce qui précède une expression de y en fonction de x sous la forme $y=k{\mathrm{e}}^{ax}$, où k est un réel à déterminer et a le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient k sera arrondi à l'unité).

      Pour tout réel $y>0$,  $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$

2. On note C la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $C\left(x\right)=\mathrm{120\; 000}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$.

   1. Résoudre par le calcul l'inéquation $C\left(x\right)⩾\mathrm{2\; 000\; 000}$.

   2. On admet que $C\left(x_i\right)$ représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang $x_i$.
      Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ?
      À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ?

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