Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les membres d'un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d'une audition. Dans le morceau qu'ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point.
En effet :

  • le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre,
  • la chanteuse échoue dans 50 % des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq.

Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition.
On appelle G l'évènement : « le guitariste joue parfaitement le morceau ».
On appelle C l'évènement : « la chanteuse interprète le morceau sans faire d'erreur ».

  1. Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment.

    • le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre donc p(G)=34=0,75etp(G¯)=1-p(G)=0,25

    • la chanteuse échoue dans 50 % des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq donc pG¯(C¯)=0,5etpG(C¯)=15=0,2

    D'où l'arbre pondéré modélisant la situation complété à l'aide de la règle des nœudsDans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la probabilité p(GC) que le groupe interprète la chanson sans erreur.

      p(GC)=pG(C)×p(G)=0,8×0,75=0,6

      La probabilité que le groupe interprète la chanson sans erreur est égale à 0,6.


    2. Calculer la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe.

      L'évènement : «un, et un seul, des membres du groupe se trompe» correspond aux issues GC¯ ou G¯C. Donc la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe est :p(GC¯)+p(G¯C)=pG(C¯)×p(G)+pG¯(C)×p(G¯)=0,2×0,75+0,5×0,25=0,275

      La probabilité qqu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe est égale à 0,275.


    3. Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau.

      Les évènements G et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(C)=p(GC)+p(G¯C)=0,6+0,125=0,725

      La probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau est égale à 0,725.


  2. Calculer pC(G) (on arrondira le résultat à 10−3 près) et interpréter concrètement ce résultat.

    pC(G)=p(GC)p(C)=0,60,7250,828

    Arrondie à 10−3 près, la probabilité que le guitariste joue parfaitement ce morceau sachant que la chanteuse interprète sans erreur le morceau est 0,828.


  3. On admet que la probabilité qu'aucun des membres du groupe ne commette d'erreur est 0,6. Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations étant indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours ?

    Les trois prestations étant indépendantes les unes des autres, il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de prestations réussies, est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,6.

    L'évènement A "jouer parfaitement à au moins l'un des trois concours" est l'évènement contraire de l'évènement B "aux trois concours il y a une erreur d'interprétation" p(B)=0,43doncp(A)=1-0,43=0,936

    La probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours est égale à 0,936.



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