sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposées, une seule des trois réponses A, B et C est exacte. Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) désignant la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

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1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^{-x}$ est égale à

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$ alors par produit, $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^{-x}=-\infty$

   réponse A : 0.

   réponse B : $+\infty$.

    réponse C : $-\infty$.

2. On considère une fonction u définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note $u\prime$ sa fonction dérivée.
   On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x appartenant à I par $f\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$. Si l'on suppose que $u\prime$ est négative sur I alors :

   La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc la fonction $f=\ln \left(u\right)$ a les mêmes variations que la fonction u sur tout intervalle où u est strictement positive.
   Or $u\prime$ est négative sur I alors la fonction u est décroissante sur I. Par conséquent, la fonction f est décroissante sur I.

   réponse A : on ne peut pas déterminer le sens de variation de la fonction f.

    réponse B : la fonction f est décroissante sur I.

   réponse C : la fonction f est croissante sur I.

3. Dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $2\ln x-1>1$ est :

   Pour tout réel x strictement positif, $\begin{array}{lllll}2\ln x-1>1& \iff & \ln x>1& \iff & x>\mathrm{e}\end{array}$

   réponse A : $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ .

   réponse B : $\left]1;+\infty \right[$ .

    réponse C : $\left]\mathrm{e};+\infty \right[$ .

4. Dans $ℝ$, l'équation ${\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x-3=0$ ?

   La fonction exponentielle est positive. Pour tout réel x, posons ${\mathrm{e}}^x=X$ d'où $X>0$ et ${\mathrm{e}}^{2x}=X^2$ . Par conséquent, l'équation ${\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x-3=0$ s'écrit sous la forme $X^2+2X-3=0$ avec $X>0$.

   Nous devons chercher les solutions positives de l'équation du second degré $X^2+2X-3=0$ avec $a=1$, $b=2$ et $c=-3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ Soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+3\times 4=16\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& X_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_1={\displaystyle \frac{-2-4}{2}}=-3\\ \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_2={\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1\end{array}$$

   $X=1$ est donc la seule solution positive qui convienne. D'où $$\begin{array}{lllll}{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x-3=0& \iff & {\mathrm{e}}^x=1& \iff & x=0\end{array}$$

    réponse A : admet une unique solution.

   réponse B : admet exactement deux solutions.

   réponse C : n'admet aucune solution.

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