Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe.
Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.
15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel n :

$a_{n}$ , la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois soit favorable à ce groupe politique.
$b_{n}$ , la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ , la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois.

On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel n : $P_{n + 1} = P_{n} \times M$

première partie

Déterminer la matrice $P_{0}$ donnant l'état probabiliste initial.
Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables d'où $P_{0} = (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix})$
Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.
Soient $A_{n}$ l'évènement : « une personne interrogée au hasard le n^ième mois est favorable à ce groupe politique » et $B_{n}$ l'évènement : « une personne interrogée au hasard le n^ième mois n'est pas favorable à ce groupe politique ». De chaque mois au mois suivant, on considère que :
- 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus donc $\begin{matrix} p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,1 & et & p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,1 = 0,9 \end{matrix}$
- 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent donc $\begin{matrix} p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,15 & et & p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,15 = 0,85 \end{matrix}$
Le graphe probabiliste qui représente la situation est :
On admet que $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix})$ . Déterminer la matrice $P_{2}$ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).
D'après une propriété des matrices de transition,Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_{0}$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_{n}$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_{n} = P_{0} M^{n}$ . $P_{2} = P_{0} \times M^{2}$
Or $M^{2} = (\begin{array}{l} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{array}) \times (\begin{array}{l} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{array}) = (\begin{array}{l} {0,9}^{2} + 0,1 \times 0,15 & 0,9 \times 0,1 + 0,1 \times 0,85 \\ 0,15 \times 0,9 + 0,85 \times 0,15 & 0,15 \times 0,1 + {0,85}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{l} 0,825 & 0,175 \\ 0,2625 & 0,7375 \end{array})$
D'où $P_{2} = (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,825 & 0,175 \\ 0,2625 & 0,7375 \end{array}) = (\begin{matrix} 0,5 \times 0,825 + 0,5 \times 0,2625 & 0,5 \times 0,175 + 0,5 \times 0,7375 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,54375 & 0,45625 \end{matrix})$
La matrice ligne décrivant l'état probabiliste $P_{2}$ est $P_{2} = (\begin{matrix} 0,54 & 0,46 \end{matrix})$ (coefficients arrondis au centième).
Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
Les coefficients de la matrice de transition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ indépendant de l'état initial.
P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état $P_{n}$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_{0}$ ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation $X = X \times M$ où $X = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ . $P = P \times M$
Soit $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) \end{matrix}$ avec $a + b = 1$
D'où a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} a & = & 0,9 a + 0,15 b \\ b & = & 0,1 a + 0,85 b \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,15 b & = & 0 \\ - 0,1 a + 0,15 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
Ainsi, a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,15 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,15 \times (1 - a) & = & 0 \\ b & = & 1 - a \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,25 a - 0,15 & = & 0 \\ b & = & 1 - a \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a & = & 0,6 \\ b & = & 0,4 \end{array} \end{matrix}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ . En supposant que la stratégie des différents groupes politiques ne change pas, à terme, d'un mois à l'autre, ce groupe politique aura 60% d'opinions favorables.

deuxième partie

Montrer que $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,15$ pour tout entier naturel n.
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ est la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois alors pour tout entier n, $a_{n} + b_{n} = 1$ , et pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Donc $\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) & avec & a_{n} + b_{n} = 1 \end{matrix}$
Soit $\begin{matrix} {\begin{array}{l} a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,15 b_{n} \\ b_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,85 b_{n} \\ a_{n} + b_{n} = 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,15 \times (1 - a_{n}) \\ b_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,85 b_{n} \\ b_{n} = 1 - a_{n} \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,15 \\ b_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,85 b_{n} \\ b_{n} = 1 - a_{n} \end{array} \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,15$ .
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_{n} = a_{n} - 0,6$ pour tout entier naturel n.
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison 0,75.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,6 \\ = & (0,75 a_{n} + 0,15) - 0,6 \\ = & 0,75 a_{n} - 0,45 \\ = & 0,75 (a_{n} - 0,6) \\ = & 0,75 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n}$ . Donc la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
2. En déduire que $a_{n} = - 0,1 \times {(0,75)}^{n} + 0,6$ pour tout entier naturel n.
  Le terme initial de la suite $(u_{n})$ est : $u_{0} = a_{0} - 0,6 = 0,5 - 0,6 = - 0,1$
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme − 0,1, alors pour tout entier naturel n, $u_{n} = - 0,1 \times {0,75}^{n}$
  Soit pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} a_{n} - 0,6 = - 0,1 \times {0,75}^{n} & \Leftrightarrow & a_{n} = 0,6 - 0,1 \times {0,75}^{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,1 \times {(0,75)}^{n} + 0,6$ .
3. Calculer la limite de $a_{n}$ quand n tend vers $+ \infty$ . Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.
  $0 < 0,75 < 1$ alors , $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} - 0,1 \times {(0,75)}^{n} + 0,6 = 0,6$
  $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,6$ donc la suite $(a_{n})$ converge vers 0,6. C'est à dire, qu'à partir d'un certain nombre de mois, la probabilité qu'une personne soit favorable à ce groupe politique sera très proche de 0,6.
  Ce résultat est cohérent avec celui établi dans la première partie : l'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ .

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