sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

première partie

En première approximation, on envisage de représenter y en tant que fonction affine de x. La droite D d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation $y=-\mathrm{1,5}x+\mathrm{16,5}$ dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de l'annexe 1.

   Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{0+1+23+4+5+6+7+8+9}{10}}=\mathrm{4,5}& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{\mathrm{18,1}+\mathrm{15,7}+\mathrm{13,3}+11+\mathrm{9,3}+\mathrm{7,8}+\mathrm{7,1}+\mathrm{6,1}+\mathrm{5,2}+\mathrm{4,3}}{10}}=\mathrm{9,79}\end{array}$$

   Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont $\mathrm{G}\left(\mathrm{4,5};\mathrm{9,79}\right)$.

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2. Tracer la droite D dans le repère de l'annexe 1.

   La droite D passe par les points de coordonnées $\left(0;\mathrm{16,5}\right)$ et $\left(11;0\right)$

   annexe 1

3. En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ?

   Le rang de l'année 2013 est 10. D'où une estimation de la quantité de minerai : $$-\mathrm{1,5}\times 10+\mathrm{16,5}=\mathrm{1,5}$$

   Avec cet ajustement, on peut prévoir d'extraire durant l'année 2013 1,5 tonnes de minerai.

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deuxième partie

On admet que la courbe tracée ci-dessus, représente un ajustement exponentiel de y en fonction de x et que son équation est de la forme $y=k{\mathrm{e}}^{px}$ où k est un entier naturel et p un nombre réel.

1. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013.

   Avec la précision permise par le graphique, l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 10 est comprise entre 3,7 et 3,8.

   La quantité de minerai extrait que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013 est d'environ 3,7 tonnes.

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2. En supposant que la courbe passe par les points $A\left(0;18\right)$ et $B\left(3;\mathrm{11,2}\right)$, calculer l'entier naturel k et le réel p dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

   Les coordonnées des points $A\left(0;18\right)$ et $B\left(3;\mathrm{11,2}\right)$ vérifient l'équation de la courbe. D'où k et p sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{l}k\times {\mathrm{e}}^{0\times p}=18\\ k\times {\mathrm{e}}^{3\times p}=\mathrm{11,2}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}k=18\\ 18\times {\mathrm{e}}^{3\times p}=\mathrm{11,2}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}k=18\\ {\mathrm{e}}^{3\times p}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,2}}{18}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}k=18\\ 3\times p=\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{11,2}}{18}}\right)\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}k=18\\ p={\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{11,2}}{18}}\right)}{3}}\approx -\mathrm{0,158}\end{array}\end{array}$$

   La courbe qui représente un ajustement exponentiel de y en fonction de x a pour équation $y=18{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}x}$

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troisième partie

On effectue le changement de variable $z=\ln y$ et on pose $z_i=\ln y_i$ .

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

   $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   $z_i$	2,90	2,75	2,59	2,40	2,23	2,05	1,96	1,81	1,65	1,46

2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $z=-\mathrm{0,16}x+\mathrm{2,89}$ (coefficients arrondis au centième)

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3. En déduire l'expression de y en fonction de x sous la forme $y=k{\mathrm{e}}^{px}$ et retrouver ainsi, en arrondissant k au dixième, les coefficients k et p calculés à la question 2. de la deuxième partie.

   Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}x+\mathrm{2,89}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}x}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{2,89}}\\ & \text{Soit}& y\approx {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}x}\times \mathrm{17,9}\end{array}$$

   $y=18\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}x}$ (coefficient k arrondi au dixième).

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