sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur $ℝ$ qui vérifie $F\left(0\right)=0$.
Dans le repère orthonormal d'unité 2 cm de l'annexe 2, la courbe $C_f$ tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point $A\left(0;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

première partie

1. La courbe $C_f$ admet pour asymptotes en $-\infty$ la droite d'équation $y=0$ et en $+\infty$ la droite d'équation $y=5$. En déduire $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Démontrer que, pour tout nombre réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}$.

3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur $ℝ$.

4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite D.

deuxième partie

1. Pour tout réel x, exprimer $F\left(x\right)$ en fonction de x.

   $f={\displaystyle \frac{5u\prime }{u}}$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1$ et $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

2. Vérifier que $F\left(1\right)=5\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{e}+1}{2}}\right)$.

3. Sur l'annexe 2, le domaine hachuré est délimité par la courbe $C_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x=1$.
   Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.

   Utiliser la croissance de la fonction f pour en déduire que f est positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$

annexe 2

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