On considère la fonction f définie sur par . On désigne par la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur qui vérifie .
Dans le repère orthonormal d'unité 2 cm de l'annexe 2, la courbe tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point .
La courbe admet pour asymptotes en la droite d'équation et en la droite d'équation . En déduire et .
La courbe admet pour asymptotes en la droite d'équation alors
La courbe admet pour asymptotes en la droite d'équation alors
Démontrer que, pour tout nombre réel x, .
Pour tout réel x, posons . Alors et .
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Étudier le signe de suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur .
Pour tout réel x, et donc .
Pour tout réel x, donc f est une fonction strictement croissante sur .
En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite D.
La droite D est tangente à la courbe au point . Son équation est donnée par la relation
La droite D a pour équation .
Pour tout réel x, exprimer en fonction de x.
avec pour tout réel x, et . Les primitives de la fonction f sont les fonctions F de la forme où c est un réel.
Soit pour tout réel x, . Or d'où
Donc pour tout réel x,
Ainsi, F est la fonction définie sur par .
Vérifier que .
Sur l'annexe 2, le domaine hachuré est délimité par la courbe , les axes de coordonnées et la droite d'équation . Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.
f est dérivable sur donc f est continue sur
f est strictement croissante sur et donc sur l'intervalle ,
Ainsi, sur l'intervalle , la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe , les axes de coordonnées et la droite d'équation est :
L'aire du domaine colorié est égale à unités d'aire soit arrondi au dixième 3,1 unités d'aire.
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