Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur par f(x)=5exex+1. On désigne par f la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur qui vérifie F(0)=0.
Dans le repère orthonormal d'unité 2 cm de l'annexe 2, la courbe Cf tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point A(0;52).

première partie

  1. La courbe Cf admet pour asymptotes en - la droite d'équation y=0 et en + la droite d'équation y=5. En déduire limx-f(x) et limx+f(x).

    • La courbe Cf admet pour asymptotes en - la droite d'équation y=0 alors limx-f(x)=0


    • La courbe Cf admet pour asymptotes en + la droite d'équation y=5 alors limx+f(x)=5

  2. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x)=5ex(ex+1)2.

    Pour tout réel x, posons {u(x)=5exd'oùu(x)=5exv(x)=ex+1d'oùv(x)=ex. Alors f=uv et f=u×v-u×vv2 .

    Soit pour tout réel x, f(x)=5ex×(ex+1)-5ex×ex(ex+1)2=5ex×(ex+1-ex)(ex+1)2=5ex(ex+1)2

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=5ex(ex+1)2.


  3. Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur .

    Pour tout réel x, (ex+1)2>0 et ex>0 donc f(x)>0.

    Pour tout réel x, f(x)>0 donc f est une fonction strictement croissante sur .


  4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite D.

    La droite D est tangente à la courbe Cf au point A(0;52). Son équation est donnée par la relation y=f(0)×(x-0)+f(0)Soity=5e0(e0+1)2×x+52y=54x+52

    La droite D a pour équation y=1,25x+2,5.


deuxième partie

  1. Pour tout réel x, exprimer F(x) en fonction de x.

    f=5uu avec pour tout réel x, u(x)=ex+1 et u(x)=ex. Les primitives de la fonction f sont les fonctions F de la forme F=5ln(f)+cc est un réel.

    Soit pour tout réel x, F(x)=5ln(ex+1)+c. Or F(0)=0 d'où 5ln(e0+1)+c=0c=-5ln2

    Donc pour tout réel x, F(x)=5ln(ex+1)-5ln2F(x)=5ln(ex+12)

    Ainsi, F est la fonction définie sur par F(x)=5ln(ex+12).


  2. Vérifier que F(1)=5ln(e+12).

    F(1)=5ln(e1+12)=5ln(e+12)

  3. Sur l'annexe 2, le domaine hachuré est délimité par la courbe Cf, les axes de coordonnées et la droite d'équation x=1. Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.

    • f est dérivable sur donc f est continue sur

    • f est strictement croissante sur et f(0)=52 donc sur l'intervalle [0;1], f(x)>0

    Ainsi, sur l'intervalle [0;1] , la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf, les axes de coordonnées et la droite d'équation x=1 est : 01f(x)dx=F(1)-F(0)=5ln(e+12)

    L'aire du domaine colorié est égale à 5ln(e+12) unités d'aire soit arrondi au dixième 3,1 unités d'aire.


annexe 2

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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