sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963. Le tableau suivant indique la quantité extraite $y_i$ en tonnes durant l'année désignée par son rang $x_i$ :

Année	1963	1968	1973	1978	1983	1988	1993	1998	2003	2008
Rang $x_i$ de l'année	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Quantité extraite $y_i$ en tonnes	18,1	15,7	13,3	11	9,3	7,8	7,1	6,1	5,2	4,3

Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O ; I, J) de l'annexe 1. Les unités graphiques de ce repère sont 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée.
Dans cet exercice, on désigne par la variable y la quantité extraite en tonnes et par la variable x le rang de l'année.

première partie

En première approximation, on envisage de représenter y en tant que fonction affine de x.
La droite D d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation $y=-\mathrm{1,5}x+\mathrm{16,5}$ dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de l'annexe 1.

2. Tracer la droite D dans le repère de l'annexe 1.

3. En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ?

deuxième partie

On admet que la courbe tracée ci-dessous, représente un ajustement exponentiel de y en fonction de x et que son équation est de la forme $y=k{\mathrm{e}}^{px}$ où k est un entier naturel et p un nombre réel.

1. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013.

2. En supposant que la courbe passe par les points $A\left(0;18\right)$ et $B\left(3;\mathrm{11,2}\right)$, calculer l'entier naturel k et le réel p dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

troisième partie

On effectue le changement de variable $z=\ln y$ et on pose $z_i=\ln y_i$.

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

   $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   $z_i$

2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

3. En déduire l'expression de y en fonction de x sous la forme $y=k{\mathrm{e}}^{px}$ et retrouver ainsi, en arrondissant k au dixième, les coefficients k et p calculés à la question 2. de la deuxième partie.

   Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$

annexe 1

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.