sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.

première partie

1. Démontrer que la probabilité de l'évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts » est égale à 0,05.

   L'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts » est l'evènement $A\cap B$. Or $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)& \iff & p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cup B\right)\\ & \text{Soit}& p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts » est égale à 0,05.

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2. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

   $$p\left(A\right)\times p\left(B\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,02}$$

   $p\left(A\right)\times p\left(B\right)\ne p\left(A\cap B\right)$, donc les évènements A et B ne sont pas indépendants.

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3. Démontrer que la probabilité de l'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts » est égale à 0,75.

   L'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts » est l'évènement contraire de l'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente un défaut ». Soit $$p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p\left(A\cup B\right)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$$

   La probabilité de l'évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts » est égale à 0,75.

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4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut b. Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut a.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé : $$\begin{array}{ccc}{p}_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap B\right)}{p\left(B\right)}}& \text{Soit}& p_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,1}}}=\mathrm{0,5}\end{array}$$

   La probabilité que parmi les pièces qui ont le défaut b, une pièce présente également le défaut a est égale à 0,5.

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5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut b. Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut a.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement $\overline{B}$ est réalisé : $$p_{\overline{B}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap \overline{B}\right)}{p\left(\overline{B}\right)}}$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{B}\right)=1-p\left(B\right)& \text{et}& p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)\\ \text{Soit}& p\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}& \text{et}& p\left(A\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,15}\end{array}$$

   D'où $$p_{\overline{B}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,9}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,17}$$

   Arrondie au centième, la probabilité que parmi les pièces qui n'ont pas le défaut b, une pièce présente le défaut a est égale à 0,17.

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deuxième partie

On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.

Dans les deux questions suivantes, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement $D=A\cup B$ ou à sa non réalisation $\overline{D}$ . Il s'agit donc de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :

La loi de probabilité associée au nombre de pièces ayant un défaut est une loi binomiale de paramètres 0,25 et 3.

1. Calculer la probabilité qu'une seule des trois pièces soit sans défaut.

   Il y a trois issues $DD\overline{D}$, $D\overline{D}D$ et $\overline{D}DD$ qui correspondent à l'évènement E « une seule des trois pièces est sans défaut ». D'où : $$p\left(E\right)=3\times \mathrm{0,75}\times {\mathrm{0,25}}^2\approx \mathrm{0,14}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'une seule des trois pièces soit sans défaut est égale à 0,14.

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2. Calculer la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut.

   L'évènement F « au moins une des trois pièces est sans défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois pièces ont un défaut ». D'où : $$p\left(F\right)=1-{\mathrm{0,25}}^3\approx \mathrm{0,98}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut est égale à 0,98.

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