sujet : France Métropolitaine

Corrigé de de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-2;4\right]$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
La courbe $\left(C_f\right)$ tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2cm.
On note e le nombre réel tel que $\ln \mathrm{e}=1$. La courbe $\left(C_f\right)$ passe par les points $B\left(0;2\right)$ et $A\left(-1;\mathrm{e}\right)$. Elle admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La tangente (T) au point B à la courbe $\left(C_f\right)$ passe par le point $D\left(2;0\right)$.

1. En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :

   1. Le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[-2;4\right]$ de l'équation $f\left(x\right)=1$ et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.

      Graphiquement, les solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\left(C_f\right)$ avec la droite d'équation $y=1$.

      L'équation $f\left(x\right)=1$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ telles que : $$\begin{array}{ccc}-2<x_1<-\mathrm{1,75}& \text{et}& 1<x_2<\mathrm{1,25}\end{array}$$

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   2. La valeur de $f\prime \left(-1\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente en A à la courbe. Or la tangente à la courbe au point A est parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est nul.

      $f\prime \left(-1\right)=0$

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   3. Le signe de la dérivée $f\prime$ de la fonction f sur l'intervalle $\left[-2;4\right]$.

      f est croissante sur l'intervalle $\left[-2;-1\right]$ et décroissante sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$. Donc :

      $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[-2;-1\right]$ et $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$

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2. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
   Donner en justifiant :

   1. Le coefficient directeur de la tangente (T) .

      La tangente (T) au point B à la courbe $\left(C_f\right)$ passe par le point $D\left(2;0\right)$. Son coefficient directeur a est donc : $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{y_B-y_D}{x_B-x_D}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{2-0}{0-2}}=-1\end{array}$$

      Le coefficient directeur de la tangente (T) est égal à − 1.

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   2. L'encadrement par deux entiers naturels consécutifs de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Par convention graphique, sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, la fonction f est continue et positive par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est la mesure en unité d'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $\left(C_f\right)$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=-1$.

      Or cette cette aire, est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 2 et l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 3.

      Donc $2<{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<3$

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   3. Celle des trois courbes $\left(C_1\right)$, $\left(C_2\right)$ et $\left(C_3\right)$ données en annexe qui représente la fonction dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      D'après l'étude du signe de la dérivée $f\prime$ nous avons $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$. Donc la courbe $\left(C_2\right)$ ne convient pas.

      D'autre part, le coefficient directeur de la tangente (T) est égal à − 1 donc $f\prime \left(0\right)=-1$ . Par conséquent, la courbe $\left(C_1\right)$ ne convient pas.

      $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

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