Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un lycée général et technologique, il y a 1 400 lycéens : des élèves de seconde, première ou terminale, et des étudiants en section de technicien supérieur (STS).
Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire et payer une location annuelle d'un montant de 50 € pour les élèves et 60 € pour les étudiants.
Sur l'ensemble des adhérents à la coopérative scolaire, 62,5 % sont les élèves de seconde, première ou terminale. Les autres sont les étudiants de STS.
Depuis quelques années, les élèves de seconde, première ou terminale disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent régler cette location :

40 % paient leur location à l'aide de chèques-lire,
56 % paient par chèque bancaire,
les autres paient par mandat ou en liquide.

Les étudiants de STS ne disposent pas de chèques-lire :

96 % paient par chèque bancaire,
les autres paient par mandat ou en liquide.

Les parties I et II sont indépendantes.

partie I

Les 1 400 lycéens, élèves comme étudiants, adhèrent à cette coopérative.

Calculer le montant des versements effectués par chèque bancaire.
Le nombre d'élèves de seconde, première ou terminale qui payent par chèque bancaire est : $(1400 \times 0,625) \times 0,56 = 490$
62,5 % des lycéens sont élèves de seconde, première ou terminale donc 37,5 % des lycéens sont étudiants. Le nombre d'étudiants qui payent par chèque bancaire est : $(1400 \times 0,375) \times 0,96 = 504$
Le montant en euros, des versements effectués par chèque bancaire est : $490 \times 50 + 504 \times 60 = 54740$
Le montant des versements effectués par chèque bancaire est égal à 54 740 €.
Calculer le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente.
Le montant total des locations est : $(1400 \times 0,625) \times 50 + (1400 \times 0,375) \times 60 = 75250$
La part des versements effectués par chèque bancaire est : $\begin{matrix} \frac{54740}{75250} \approx 0,727 \end{matrix}$
Le montant des versements effectués par chèque est égal à 72,7 % du montant total des locations.

partie II

On prend au hasard la fiche d'un adhérent à la coopérative scolaire parmi les 1 400 fiches.
On note :

L l'évènement « l'adhérent est un élève » ;
E l'évènement « l'adhérent est un étudiant en STS » ;
C l'évènement « l'adhérent paie avec ses chèques-lire » ;
B l'évènement « l'adhérent paie avec un chèque bancaire » ;
A l'évènement « l'adhérent paie par un autre moyen de paiement ».

Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
L'arbre a été complété avec la règle des nœuds :Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
1. Calculer la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire.
  la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire est la probabilité de l'évènement $L \cap C$ $\begin{matrix} p (L \cap C) = p_{L} (C) \times p (L) & Soit & p (L \cap C) = 0,4 \times 0,625 = 0,25 \end{matrix}$
  La probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire est égale à 0,25.
2. Calculer la probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire.
  La probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire est la probabilité de l'évènement $E \cap B$ $\begin{matrix} p (E \cap B) = p_{E} (B) \times p (E) & Soit & p (E \cap B) = 0,96 \times 0,375 = 0,36 \end{matrix}$
  La probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire est égale à 0,36.
3. Démontrer que la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est de 0,71.
  Les lycéens sont soit élèves soit étudiants, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{l} p (B) = p (L \cap B) + p (E \cap B) & d'où & p (B) = p_{L} (B) \times p (L) + p (E \cap B) \\ Soit & p (B) = 0,56 \times 0,625 + 0,36 = 0,71 \end{array}$
  Ainsi, la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est égale à 0,71.
Un adhérent a payé par chèque bancaire. Calculer le probabilité que ce soit un élève.
$\begin{matrix} p_{B} (L) = \frac{p (L \cap B)}{p (B)} & Soit & p_{B} (L) = \frac{0,35}{0,71} = \frac{35}{71} \end{matrix}$
La probabilité qu'un adhérent qui a payé par chèque bancaire soit un élève est égale à $\frac{35}{71}$ .

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