sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l'on notera (CDE).

      Les vecteurs $\overrightarrow{CD}\left(-4;4;0\right)$ et $\overrightarrow{CE}\left(-4;0;4\right)$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles ; donc les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CE}$ ne sont pas colinéaires par conséquent, les points C, D et E ne sont pas alignés.

      Les points C, D et E ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.

      ---

   2. Vérifier que le plan (CDE) a pour équation $x+y+z=4$ .

      $4+0+0=4$, $0+4+0=4$ et $0+0+4=4$ . Les coordonnées des points $C\left(4;0;0\right)$, $D\left(0;4;0\right)$ et $E\left(0;0;4\right)$ vérifient l'équation cartésienne $x+y+z=4$ d'un plan.

      Donc le plan (CDE) a pour équation $x+y+z=4$ .

      ---

2. 1. Justifier que les plans (P) et (CDE) sont sécants. On note (Δ) leur intersection.

      • méthode 1

        Le plan (P) d'équation $3y+z=6$ est parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤}\right)$ et le plan (CDE) coupe l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤}\right)$ au point $C\left(4;0;0\right)$

        Donc les plans (P) et (CDE) sont sécants.

        ---

      • méthode 2

        Dire que les plans P d'équation $ax+by+cz=d$ et P′ d'équation $a\prime x+b\prime y+c\prime z=d\prime$ sont parallèles équivaut à $\left(a;b;c\right)$ et $\left(a\prime ;b\prime ;c\prime \right)$ proportionnels.

        Or les triplets $\left(0;3;1\right)$ et $\left(1;1;1\right)$ ne sont pas proportionnels.

        Donc les plans (P) d'équation $3y+z=6$ et (CDE) d'équation $x+y+z=4$ sont sécants.

        ---

   2. Sans justifier, représenter (Δ) en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.

      (Δ) est la droite d'intersection des plans (CDE) et (P). Pour la représenter, il suffit de déterminer deux points de l'intersection des plans (CDE) et (P) à l'aide des traces des deux plans sur les plans de base :

      • (CD) est la droite d'intersection du plan (CDE) avec le plan de base (xOy). La parallèle à l'axe (Ox) passant par A est l'intersection du plan (P) avec le plan de base (xOy).
        Ces deux droites sont dans le même plan (xOy), leur point d'intersection est un point de la droite (Δ).

      • (ED) est la droite d'intersection du plan (CDE) avec le plan de base (yOz). (AB) est la droite d'intersection du plan (P) avec le plan de base (yOz).
        Les droites (ED) et (AB) sont dans le même plan (yOz), leur point d'intersection est un point de la droite (Δ).

3. On considère les points $F\left(2;0;0\right)$ et $G\left(0;3;0\right)$. On note (Q) le plan parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{k}\right)$ et contenant les points F et G.

   1. Placer sur la figure en annexe les points F et G.
      Sans justifier, représenter le plan (Q) par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.

   2. Déterminer les réels a et b tels que $ax+by=6$ soit une équation du plan (Q).

      Le plan (Q) est parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{k}\right)$ et contenant les points F et G. Son équation cartésienne est de la forme $ax+by=\mathrm{c}$ . Les coordonnées des points $F\left(2;0;0\right)$ et $G\left(0;3;0\right)$ vérifient l'équation du plan (Q). Soit en prennant $c=6$ , a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{c}2a=6\\ 3b=6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=3\\ b=2\end{array}\end{array}$$

      Le plan (Q) a pour équation $3x+2y=6$

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4. L'intersection des plans (CDE) et (Q) est la droite (Δ′). Sans justifier, représenter la droite (Δ′), d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.

   Comme dans la deuxième question, on détermine deux points de la droite (Δ′) à l'aide des traces des plans (CDE) et (Q) avec les plans de bases (xOz) et (yOz).

5. On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant : $$\{\begin{array}{rcl}3y+z& =& 6\\ x+y+z& =& 4\\ 3x+2y& =& 6\end{array}$$

   1. Résoudre ce système.

      • méthode 1

        $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}x+y+z& =& 4\\ 3y+z& =& 6\\ 3x+2y& =& 6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcll}x+y+z& =& 4& \\ x-2y& =& -2& L_2\leftarrow L_1-L_2\\ 3x+2y& =& 6& \end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcll}x+y+z& =& 4& \\ x-2y& =& -2& \\ 4x& =& 4& L_3\leftarrow L_2+L_3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}z& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ x& =& 1\end{array}\hfill \end{array}$$

        Le système admet pour solution le triplet $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

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      • méthode 2

        $$S:\{\begin{array}{rcl}3y+z& =& 6\\ x+y+z& =& 4\\ 3x+2y& =& 6\end{array}$$

        Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 1& 1& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 6\end{array}\right)$ . Le système S s'écrit sous forme matricielle : $$AX=B$$

        Or la matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{3}{8}}& -{\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{9}{8}}& -{\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}\right)$$

        Donc $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{3}{8}}& -{\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{9}{8}}& -{\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 6\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)\end{array}$$

        Le système admet pour solution le triplet $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

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   2. Que peut-on alors en déduire pour les droites (Δ) et (Δ′) ?

      Les trois plans (CDE), (P) et (Q) sont sécants en un point de coordonnées $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ .

      Or les droites (Δ) et (Δ′)  sont les droites d'intersection du plan (CDE) avec les plans (P) et (Q). Donc le point d'intersection des trois plans est un point de la droite (Δ) et de la droite (Δ′).

      Les droites (Δ) et (Δ′)  sont sécantes en un point S de coordonnées $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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