sujet : France Métropolitaine

Énoncé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.
Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :

Prix en euros : $x_i$	4	5	6	7	8	9	10	11
Nombre d'acheteurs en milliers : $y_i$	125	120	100	80	70	50	40	25

1. Représenter le nuage de points $M\left(x_i{y}_i\right)$ dans le plan (P) muni d'un repère orthonormal d'unités 1 cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.

2. 1. Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite (D) d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l'unité.

   2. Tracer la droite (D) dans le plan (P).

   3. En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.

3. 1. En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R\left(x\right)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire x d'un objet, exprimé en euros, vérifie : $$R\left(x\right)=-15x^2+189x$$

   2. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-15x^2+189x$.

   3. Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.

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