Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x)=(x2-x+1)e-x. On note (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal.

    1. Déterminer la limite de la fonction f en -.

    2. En remarquant que, pour tout nombre réel x, f(x)=x2ex-xex+1ex, déterminer la limite de la fonction f en +. Interpréter graphiquement le résultat.

      Théorème sur les croissances comparées au voisinage de + :

      Pour tout entier natuel n strictement positif, limx+exxn=+

  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x)=(-x2+3x-2)e-x.

    2. Établir le tableau de variations de la fonction f sur l'ensemble des nombres réels.

  2. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) en son point d'abscisse 0.

  3. On prend comme unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 20 cm sur l'axe des ordonnées.
    Tracer la droite (T) et la courbe (Cf) sur l'intervalle [0;8] dans le plan (P).

    1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle [0;8] de l'équation f(x)=0,4.

    2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation considérée à la question 5. a.


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