sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par $f\left(x\right)=\left(x^2-x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$. On note $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2-x+1=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$.

      Par conséquent, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

      ---

   2. En remarquant que, pour tout nombre réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$, déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat.

      D'après le théorème sur les croissances comparées au voisinage de $+\infty$,Pour tout entier natuel n strictement positif, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}=+\infty$$ nous avons :

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^2}}=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}=0$. Donc par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}=0$

      Par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors la courbe $\left(C_f\right)$ admet pour asymptote au voisinage de $+\infty$ l'axe des abscisses.

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2. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Démontrer que, pour tout nombre réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(-x^2+3x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      f est une fonction dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=u\times v$ d'où $f\prime =u\prime \times v+u\times v\prime$ avec pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2-x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Par conséquent, pour tout nombre réel x, $$f\prime \left(x\right)=\left(2x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-x}\left(x^2-x+1\right)\iff f\prime \left(x\right)=\left(-x^2+3x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout nombre réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(-x^2+3x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

   2. Établir le tableau de variations de la fonction f sur l'ensemble des nombres réels.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-x^2+3x-2$ avec $a=-1$, $b=3$ et $c=-2$

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=3^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-2\right)=1\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-3-1}{-2}}=2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-3+1}{-2}}=1\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
      Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		1		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$+\infty$		${\mathrm{e}}^{-1}$		$3{\mathrm{e}}^{-2}$		0

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3. Donner une équation de la tangente (T) à la courbe $\left(C_f\right)$ en son point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente (T) à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)& \text{Soit}& y=-2x+1\end{array}$$

   La tangente (T) à la courbe $\left(C_f\right)$ en son point d'abscisse 0 a pour équation $y=-2x+1$.

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4. On prend comme unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 20 cm sur l'axe des ordonnées. Tracer la droite (T) et la courbe $\left(C_f\right)$ sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ dans le plan (P).

5. 1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,4}$.

      Graphiquement, les solutions de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,4}$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\left(C_f\right)$ avec la droite d'équation $y=\mathrm{0,4}$

      Graphiquement, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,4}$ admet 3 solutions.

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   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation considérée à la question 5. a.

      Graphiquement, la plus grande des solutions de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,4}$ est comprise entre 2 et 3.

      L'utilisation de la fonction solve sur une calculatrice (TI 82 ou 83) permet d'obtenir une valeur approchée de cette solution. La saisie de solve(Y₁−0.4,X,2,{2,3}) donne 2.300837

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      La valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,4}$ est 2,3.

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