sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.
Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points $A\left(0;2;0\right)$, $B\left(0;0;6\right)$, $C\left(4;0;0\right)$, $D\left(0;4;0\right)$ et $E\left(0;0;4\right)$.
Soit (P) le plan d'équation $3y+z=6$ . Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.

1. 1. Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l'on notera (CDE).

      Trois points non alignés déterminent un plan.

   2. Vérifier que le plan (CDE) a pour équation $x+y+z=4$ .

2. 1. Justifier que les plans (P) et (CDE) sont sécants. On note (Δ) leur intersection.

   2. Sans justifier, représenter (Δ) en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.

      (Δ) est la droite d'intersection des plans (CDE) et (P). Pour la représenter, il suffit de déterminer deux points de l'intersection des plans (CDE) et (P) à l'aide des traces des deux plans sur les plans de base.

3. On considère les points $F\left(2;0;0\right)$ et $G\left(0;3;0\right)$. On note (Q) le plan parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{k}\right)$ et contenant les points F et G.

   1. Placer sur la figure en annexe les points F et G.
      Sans justifier, représenter le plan (Q) par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.

   2. Déterminer les réels a et b tels que $ax+by=6$ soit une équation du plan (Q).

4. L'intersection des plans (CDE) et (Q) est la droite (Δ′).
   Sans justifier, représenter la droite (Δ′), d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.

5. On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant : $$\{\begin{array}{rcl}3y+z& =& 6\\ x+y+z& =& 4\\ 3x+2y& =& 6\end{array}$$

   1. Résoudre ce système.

   2. Que peut-on alors en déduire pour les droites (Δ) et (Δ′) ?

annexe de l'exercice 2

Pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité

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