sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Représenter le nuage de points $M\left(x_i{y}_i\right)$ dans le plan (P) muni d'un repère orthonormal d'unités 1 cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.

2. 1. Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite (D) d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l'unité.

      Une équation de la droite (D) d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=-15x+189$ (coefficients arrondis à l'unité)

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   2. Tracer la droite (D) dans le plan (P).

      La droite (D) passe par les points de coordonnées $\left(4;129\right)$ et $\left(11;24\right)$.

   3. En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.

      Graphiquement, les prix x que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs sont les abscisses des points de la droite situés au dessus de l'axe des abscisses soit $x\in \left]0;\mathrm{12,6}\right[$

      Le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs est de 12  € (estimation à l'euro près)

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3. 1. En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R\left(x\right)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire x d'un objet, exprimé en euros, vérifie : $$R\left(x\right)=-15x^2+189x$$

      La recette est égale au produit du prix unitaire d'un article par le nombre d'articles vendus.

      Pour un prix x, le nombre d'acheteurs exprimé en milliers est estimé à l'aide de l'ajustement affine précédent. Par conséquent, la recette $R\left(x\right)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire x d'un objet est : $$R\left(x\right)=\left(-15x+189\right)\times x=-15x^2+189x$$

      Ainsi, une estimation de la recette $R\left(x\right)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire x d'un objet, exprimé en euros, est $R\left(x\right)=-15x^2+189x$

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   2. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-15x^2+189x$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , la fonction f est la restriction d'une fonction polynôme du second degré avec $a=-15$, $b=189$ et $c=0$ . Le maximum de la fonction f est atteint pour $$\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit}& x=-{\displaystyle \frac{189}{2\times \left(-15\right)}}=\mathrm{6,3}\end{array}$$

      et $$f\left(\mathrm{6,3}\right)=-15\times {\mathrm{6,3}}^2+189\times \mathrm{6,3}=\mathrm{595,35}$$

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	0		6,3		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			595,35

   3. Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.

      D'après l'étude de la fonction f :

      Le recette maximale que peut envisager cette société est obtenue avec un prix de vente unitaire de 6,30 €

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