sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left[-2;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x+2$. On note $f\prime$ sa dérivée.

1. Donner une valeur approchée à 10⁻² près de $f\left(-2\right)$, $f\left(0\right)$ et $f\left(2\right)$.

   • $f\left(-2\right)=-3\times {\mathrm{e}}^{-2}+2$. Soit $f\left(-2\right)\approx \mathrm{1,59}$

     ---

   • $f\left(0\right)=-1\times {\mathrm{e}}^0+2$. Soit $f\left(0\right)=1$

     ---

   • $f\left(2\right)={\mathrm{e}}^2+2$. Soit $f\left(2\right)\approx \mathrm{9,39}$

     ---

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$. Donner le tableau de variations de f sur $\left[-2;2\right]$.

   • Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;2\right]$ posons $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$.

     Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;2\right]$, $f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)+2$ d'où $f\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times v\left(x\right)+u\left(x\right)\times v\prime \left(x\right)$ . Soit $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x+\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x$$

     Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[-2;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x$

     ---

   • Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que x. D'où le tableau de variation de la fonction f :

     x	− 2		0		2
     $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $f\left(x\right)$	$-3{\mathrm{e}}^{-2}+2$		1		${\mathrm{e}}^2+2$

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   On considère les points $A\left(1;2\right)$ et $B\left(0;2-\mathrm{e}\right)$. Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe $C_f$ au point A.

   $f\left(1\right)=2$ donc $A\left(1;2\right)$ est un point de la courbe $C_f$.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A est :$$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)& \iff & y=\mathrm{e}\times \left(x-1\right)+2\\ & \iff & y=\mathrm{e}\times x+2-\mathrm{e}\end{array}$$

   Les coordonnées du point $B\left(0;2-\mathrm{e}\right)$ vérifient l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A donc B est un point de la tangente.

   La droite (AB) est la tangente à la courbe $C_f$ au point A.

   ---

4. Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique $C_f$ de f dans un repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

   (Télécharger la courbe au format Latex Pdf)

5. On admet que la fonction F définie par $F\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x+2x$ est une primitive de la fonction f sur $\left[-2;2\right]$. Hachurer la partie $𝒜$ du plan délimitée par les axes du repère, la droite d'équation $x=2$ et la courbe $C_f$ . Calculer la mesure en cm² de l'aire de $𝒜$.

   • f est dérivable sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ donc f est continue sur cet intervalle.

   • D'après le tableau de variation, le minimum de la fonction f est atteint en 0. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;2\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)⩾f\left(0\right)& \text{Soit}& f\left(x\right)⩾1\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left]0;2\right]$ , la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. : l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $𝒜$ délimité par la courbe $C_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x=2$ est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\\ & =& 4-\left(-2{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& 6\end{array}$$

   Or l'unité d'aire est l'aire du rectangle de côtés 4 cm et 1 cm soit 4 cm²

   Donc l'aire du domaine $𝒜$ délimité par la courbe $C_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x=2$, mesure 24 cm².

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.