sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, y centaines de nouveaux résidants et z centaines de résidants quittant la ville.

Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années :

Année	2000	2002	2004	2006	2007
Rang de l'année : $x_i$	0	2	4	6	7
Nouveaux résidants (en centaines) : $y_i$	9,71	10,95	10,83	11,95	11,99
Départs de résidants (en centaines) : $z_i$	9,6	11,79	12,63	12,9	13,18

partie a

Pour la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ donner une équation de la droite d'ajustement D de y en x, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième).

partie b

Dans toute la suite de l'exercice 4, on admettra le modèle d'ajustement $y=f\left(x\right)$ et $y=g\left(x\right)$ avec $f\left(x\right)=\mathrm{0,3}x+10$ pour la série $\left(x_i;y_i\right)$ et $g\left(x\right)=\ln \left(3x+1\right)+10$ pour la série $\left(x_i;z_i\right)$

Les nuages de points et les courbes représentatives de f et g sont donnés dans la figure ci-dessous :

1. En utilisant ces ajustements :

   1. Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait 1 400.

   2. Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait 1 400.

   On considère la fonction d définie sur $\left[0;20\right]$ par $$d\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)=\ln \left(3x+1\right)-\mathrm{0,3}x$$ On note $d\prime$ la dérivée de d.

2. Calculer $d\prime \left(x\right)$ et en donner une écriture sous forme d'un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction d.

3. Montrer que l'équation $d\left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[3;20\right]$. À l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement de α par deux entiers consécutifs.

4. En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants :

   1. En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population ?
      Estimer alors cette baisse.

   2. À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population ?

   La fonction d modélise la différence entre les départs et les arrivées de résidants de la ville de Sirap.

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