sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une usine produit deux types E et F de moteurs.
Le bénéfice B, exprimé en milliers d'euros, pour une production journalière de x moteurs E et y moteurs F est : $B\left(x;y\right)=-\mathrm{0,05}{x}^2-\mathrm{0,08}{y}^2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,7}y$.
On admet que la production totale est vendue et que $0⩽x⩽10$ ; $0⩽y⩽8$.

1. Calculer le bénéfice réalisé avec :

   1. Une production de 7 moteurs E et de 5 moteurs F.

      $$B\left(7;5\right)=-\mathrm{0,05}\times 7^2-\mathrm{0,08}\times 5^2+\mathrm{0,6}\times 7+\mathrm{0,7}\times 5=\mathrm{3,25}$$

      Avec une production de 7 moteurs E et de 5 moteurs F, le bénéfice est de 3250 €.

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   2. Une production de 10 moteurs E et aucun moteur F.

      $$B\left(10;0\right)=-\mathrm{0,05}\times {10}^2+\mathrm{0,6}\times 10=1$$

      Avec une production de 10 moteurs E et aucun moteur F, le bénéfice est de 1000 €.

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2. La fonction B est représentée par la surface S (figure ci-dessous). L'usine veut obtenir un bénéfice dépassant 3000 €. Par lecture graphique de B :

   Représentation graphique du bénéfice B

   1. Si l'usine fabrique 6 moteurs F, indiquer le nombre de moteurs E qu'il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités.

      Graphiquement, il s'agit de déterminer les abscisses entières des points de la surface situés au dessus du plan d'équation $z=3$ et sur la ligne de niveau $y=6$ . Trois points correspondent aux contraintes, ce sont les points d'abscisse 5, 6 et 7.

      Si l'usine fabrique 6 moteurs F, il faudra produire 5, 6 ou 7 moteurs E pour obtenir un bénéfice dépassant 3000 €.

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   2. Si l'usine fabrique 8 moteurs E, indiquer le nombre de moteurs F qu'il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités.

      Graphiquement, il s'agit de déterminer les ordonnées entières des points de la surface situés au dessus du plan d'équation $z=3$ et sur la ligne de niveau $x=8$ . Deux points correspondent aux contraintes, ce sont les points d'ordonnée 4 et 5.

      Si l'usine fabrique 8 moteurs E, il faudra produire 4 ou 5 moteurs F pour obtenir un bénéfice dépassant 3000 €.

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3. La demande contraint l'usine à fabriquer autant de moteurs E que de moteurs F. Dans ce cas :

   1. Exprimer, en fonction de x, le bénéfice B réalisé, lorsque x varie de 0 à 8.

      Avec les contraintes $x=y$ et $0⩽y⩽8$ , le bénéfice est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $$B\left(x\right)=-\mathrm{0,05}{x}^2-\mathrm{0,08}{x}^2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,7}x=-\mathrm{0,13}{x}^2+\mathrm{1,3}x$$

      Ainsi, B est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $B\left(x\right)=-\mathrm{0,13}{x}^2+\mathrm{1,3}x$.

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   2. Déterminer la production permettant de réaliser le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal exprimé en euros.

      La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,13}{x}^2+\mathrm{1,3}x$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-\mathrm{0,13}$, $b=\mathrm{1,3}$ et $c=0$ . Par conséquent, le maximum de la fonction f est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$. Soit pour $$x=-{\displaystyle \frac{-\mathrm{0,13}}{2\times \mathrm{1,3}}}=5$$

      Or $5\in \left[0;8\right]$ et $$B\left(5\right)=-\mathrm{0,13}\times 5^2+\mathrm{1,3}\times 5=\mathrm{3,25}$$

      Sous la contrainte de fabrication, le bénéfice maximal est de 3250 € avec une production de cinq moteurs E et de cinq moteurs F.

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