Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, y centaines de nouveaux résidants et z centaines de résidants quittant la ville.

Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années :

Année	2000	2002	2004	2006	2007
Rang de l'année : $x_{i}$	0	2	4	6	7
Nouveaux résidants (en centaines) : $y_{i}$	9,71	10,95	10,83	11,95	11,99
Départs de résidants (en centaines) : $z_{i}$	9,6	11,79	12,63	12,9	13,18

partie a

Pour la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ donner une équation de la droite d'ajustement D de y en x, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième).

Une équation de la droite d'ajustement D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y = 0,31 x + 9,9$ (coefficients arrondis au centième)

partie b

Dans toute la suite de l'exercice 4, on admettra le modèle d'ajustement $y = f (x)$ et $y = g (x)$ avec $f (x) = 0,3 x + 10$ pour la série $(x_{i}; y_{i})$ et $g (x) = \ln (3 x + 1) + 10$ pour la série $(x_{i}; z_{i})$

Les nuages de points et les courbes représentatives de f et g sont donnés dans la figure ci-dessous :

En utilisant ces ajustements :
1. Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait 1 400.
  Le rang x de l'année est le plus petit entier solution de l'inéquation $\begin{matrix} 0,3 x + 10 ⩾ 14 & \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{4}{0,3} \approx 13,3 \end{matrix}$
  Selon le modèle affine, à partir de 2014, le nombre de nouveaux résidants dépassera 1 400.
2. Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait 1 400.
  Le rang x de l'année est le plus petit entier solution de l'inéquation $\begin{array}{l} \ln (3 x + 1) + 10 ⩾ 14 & \Leftrightarrow & \ln (3 x + 1) ⩾ 4 \\ \Leftrightarrow & 3 x + 1 ⩾ e^{4} \\ \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{e^{4} - 1}{3} \approx 17,9 \end{array}$
  Selon le deuxième modèle, à partir de 2018, le nombre de départs de résidants dépassera 1 400.
On considère la fonction d définie sur $[0; 20]$ par $d (x) = g (x) - f (x) = \ln (3 x + 1) - 0,3 x$ . On note $d'$ la dérivée de d.

Calculer $d' (x)$ et en donner une écriture sous forme d'un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction d.

d est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle $[0; 20]$ et $\begin{array}{l} d' (x) = \frac{3}{3 x + 1} - 0,3 & \Leftrightarrow & d' (x) = \frac{3 - 0,9 x - 0,3}{3 x + 1} \\ \Leftrightarrow & d' (x) = \frac{- 0,9 x + 2,7}{3 x + 1} \end{array}$

Ainsi, $d'$ est la fonction définie sur $[0; 20]$ par $d' (x) = \frac{- 0,9 x + 2,7}{3 x + 1}$ .

Étudions le signe de $d'$ à l'aide d'un tableau :

x	0		3		20
$- 0,9 x + 2,7$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$3 x + 1$		+	$\|$	+
$d' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−

Les variations de la fonction d se déduisent du signe de sa dérivée, d'où le tableau des variations :

x	0		3		20
$d' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$d (x)$	0		$\ln 10 - 0,9$		$\ln 61 - 6$

$d (0) = \ln (1) = 0$ ; $d (3) = \ln 10 - 0,9$ et $d (20) = \ln 61 - 6$

Montrer que l'équation $d (x) = 0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $[3; 20]$ . À l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement de α par deux entiers consécutifs.
Sur l'intervalle $[3; 20]$ , la fonction d est dérivable donc continue sur cet intervalle. D'autre part, $d (3) = \ln 10 - 0,9 \approx 1,4$ et $d (20) = \ln 61 - 6 \approx - 1,9$ donc $d (20) < 0 < d (3)$
Ainsi, sur l'intervalle $[3; 20]$ , la fonction d est continue, strictement décroissante et $d (20) < 0 < d (3)$ . Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ ., l'équation $d (x) = 0$ admet une solution unique $α \in [3; 20]$ . À l'aide de la calculatrice, on trouve $12 < α < 13$
L'équation $d (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[3; 20]$ avec $12 < α < 13$ .
En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants :
1. En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population ? Estimer alors cette baisse.
  La fonction d modélise la différence entre les départs et les arrivées de résidants de la ville de Sirap. Par conséquent, le maximum de la fonction d correspond à la plus grande baisse de la population de la ville de Sirap.
  Or le maximum est atteint pour $x = 3$ et $d (3) \approx 1,4$
  En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants, c'est en 2003 que la ville de Sirap a enregistré la plus grande baisse de sa population. La population avait diminué de 140 habitants.
2. À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population ?
  La population de la ville de Sirap augmente quand $f (x) > g (x)$ Soit $d (x) < 0$
  Or sur l'intervalle $[3; 20]$ , d est strictement décroissante et $d (α) = 0$ . Donc sur l'intervalle $[3; 20]$ , $\begin{matrix} x > α & \Leftrightarrow & d (x) < 0 \end{matrix}$
  À partir de 2013 la ville de Sirap peut prévoir une augmentation de sa population.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.