sujet : La Réunion

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, donner les réponses sous forme de nombres décimaux qui ne seront pas arrondis.

1. Quelle est la probabilité $p\left(R\right)$ de l'événement R ?

   65 % des clients achètent une voiture routière alors $p\left(R\right)=\mathrm{0,65}$

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2. 1. Construire l'arbre de probabilité complet.

      L'arbre est complété à l'aide de la règle des nœuds :Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

   2. Démontrer que $p_R\left(D\right)=\mathrm{0,42}$ (probabilité de D sachant R).

      27,3 % des clients achètent une voiture routière avec une motorisation diesel donc $p\left(R\cap D\right)=\mathrm{0,273}$. La probabilité de D sachant R est : $$\begin{array}{lll}{p}_R\left(D\right)={\displaystyle \frac{p\left(R\cap D\right)}{p\left(R\right)}}& \text{Soit}& p_R\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,273}}{\mathrm{0,65}}}=\mathrm{0,42}\end{array}$$

      Lorsqu'un client achète une voiture routière, la probabilité qu'il choisisse la motorisation diesel est égale à 0,42.

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3. Calculer $p\left(D\right)$.

   Le concessionnaire automobile vend deux versions de voitures : routière ou break par conséquent, R et B forment une partition de l'ensemble des résultats. Donc d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(R\cap D\right)+p\left(B\cap D\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap D\right)=p_B\left(D\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,85}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,2975}\end{array}$$

   D'où $$p\left(D\right)=\mathrm{0,273}+\mathrm{0,2975}=\mathrm{0,5705}$$

   La probabilité qu'un client achète une voiture avec une motorisation diesel est égale à 0,5705.

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4. Lorsque le concessionnaire a choisi au hasard un client, on note x le prix de vente (en milliers d'euros) de la voiture achetée.

   Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de x.

   Nous avons :

   $p\left(R\right)=p\left(R\cap E\right)+p\left(R\cap D\right)$ et $p\left(D\right)=p\left(B\cap E\right)+p\left(B\cap D\right)$ . D'où $$\begin{array}{llll}& p\left(R\cap E\right)=p\left(R\right)-p\left(R\cap D\right)& \text{et}& p\left(B\cap E\right)=p\left(B\right)-p\left(B\cap D\right)\\ \text{Soit}& p\left(R\cap E\right)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,273}=\mathrm{0,377}& \text{et}& p\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,35}-\mathrm{0,2975}=\mathrm{0,0525}\end{array}$$

   Nous pouvons compléter le tableau

   Version	Routière		Break
   Motorisation	Essence	Diesel	Essence	Diesel
   $x_i$ : prix de vente (en milliers d'euros)	15	18	17	20
   $p_i$ : probabilité	0,377	0,273	0,0525	0,2975

   Calculer l'espérance mathématique de x. Quelle interprétation peut-on en donner ?

   L'espérance mathématique E de cette loi est $$E=15\times \mathrm{0,377}+18\times \mathrm{0,273}+17\times \mathrm{0,0525}+20\times \mathrm{0,2975}=\mathrm{17,4115}$$

   L'espérance mathématique de x est égale à 17,4115. Le prix de vente moyen d'un véhicule est de 17 411,5 €.

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