sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 25 % des employés ont un ordinateur Aliet d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,25}$
   • 40 % des employés ont un ordinateur Balart d'où $p\left(B\right)=\mathrm{0,4}$
   • le reste des employés a un ordinateur Celt d'où $$\begin{array}{ccc}p\left(C\right)=1-\left(p\left(A\right)+p\left(B\right)\right)& \text{soit}& p\left(C\right)=1-\left(\mathrm{0,25}+\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{0,35}\end{array}$$
   • parmi les employés équipés d'un ordinateur Aliet, 90 % sont satisfaits du service de maintenance d'où $p_A\left(S\right)=\mathrm{0,9}$
   • parmi les employés équipés d'un ordinateur Balart, 65 % sont satisfaits du service de maintenance d'où $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,65}$
   • parmi les employés équipés d'un ordinateur Celt, 80 % sont satisfaits du service de maintenance d'où $p_C\left(S\right)=\mathrm{0,8}$

   Ainsi, l'arbre pondéré décrivant la situation est :

2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap S\right)=p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,225}\end{array}$$

   La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance est 0,225.

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3. Démontrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est 0,765.

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(A\cap S\right)+p\left(B\cap S\right)+p\left(C\cap S\right)$$

   Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(B\cap S\right)=p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,65}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,26}\\ \text{et}& p\left(C\cap S\right)=p_C\left(S\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap S\right)=\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

   D'où $$p\left(S\right)=\mathrm{0,225}+\mathrm{0,26}+\mathrm{0,28}=\mathrm{0,765}$$

   Ainsi, la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est 0,765.

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4. Sachant que la fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance, calculer la probabilité que cet employé soit équipé d'un ordinateur de la marque Celt. Le résultat sera arrondi à 10 ^{− 3}.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{soit}& p_S\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,765}}}\approx \mathrm{0,366}\end{array}$$

   Arrondie à 10 ^{− 3} près, la probabilité que parmi les fiches des employés satisfaits du service de maintenance, la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur de la marque Celt est 0,366.

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