Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction f définie sur l'intervalle par . Le nombre réel désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
La fonction de demande de cet appareil est la fonction g définie sur l'intervalle par . Le nombre réel désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.
Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
méthode 1 : À partir des variations des fonctions composées
Soient u et v les fonctions affines définies sur par et . Alors sur l'intervalle , .
f est une fonction strictement croissante comme composée de trois fonctions strictement croissantes.
méthode 2 : À partir du signe de la dérivée
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par Or pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , donc f est une fonction strictement croissante.
Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle .
méthode 1 : À partir des variations des fonctions composées
Sur l'intervalle , la fonction définie par est strictement positive et strictement croissante. Par conséquent, sur l'intervalle , la fonction u définie par est strictement croissante.
Or la fonction affine v définie sur par est strictement décroissante
g est une fonction strictement décroissante comme composée d'une fonction strictement croissante suivie d'une fonction strictement décroissante.
méthode 2 : À partir du signe de la dérivée
La dérivée de la fonction g est la fonction définie sur l'intervalle par Or pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , donc g est une fonction strictement décroissante.
Les courbes représentatives respectives et des fonctions f et g , tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 à rendre avec la copie. Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.
Avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée des coordonnées du point E intersection des courbes et est
Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle l'équation .
Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle par .
Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l'intervalle . On pourra utiliser la question 1.
f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle . D'autre part, g est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle donc la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
La fonction h est une fonction strictement croissante sur l'intervalle comme somme de deux fonctions strictement croissantes sur cet intervalle.
Démontrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
Sur l'intervalle , h est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables donc continue. D'autre part, h est une fonction strictement croissante sur cet intervalle et
Donc sur l'intervalle , la fonction h est strictement croissante, continue et Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une solution unique .
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de au millième.
L'arrondi de au millième obtenu à la calculatrice est 8,871.
On pose . En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de au centième.
L'arrondi de au centième est 238,41.
Sachant que représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ?
Le prix d'équilibre de cet appareil est de 238,41 €. Le nombre d'appareils disponibles sur le marché à ce prix est 8 871.
On prendra dans cette question et .
Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle .
Une primitive de la fonction f sur l'intervalle est la fonction F définie par
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par
On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule : Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 à rendre avec la copie, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel S.
Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel S.
La valeur arrondie au millième du nombre réel S est 470,754.
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