Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction f définie sur l'intervalle [0;35] par f(x)=153e0,05x. Le nombre réel f(x) désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
La fonction de demande de cet appareil est la fonction g définie sur l'intervalle [0;35] par g(x)=-116ln(x+1)+504. Le nombre réel g(x) désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.

    1. Démontrer que la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [0;35].

      • méthode 1 : À partir des variations des fonctions composées

        Soient u et v les fonctions affines définies sur par u(x)=0,05x et v(x)=153x. Alors sur l'intervalle [0;35], f=v[eu].

        f est une fonction strictement croissante comme composée de trois fonctions strictement croissantes.


      • méthode 2 : À partir du signe de la dérivée

        La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [0;35] par f(x)=153×(0,05×e0,05x)f(x)=7,65e0,05x Or pour tout réel x de l'intervalle [0;35], 7,65e0,05x>0

        Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0;35], f(x)>0 donc f est une fonction strictement croissante.


    2. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0;35].

      • méthode 1 : À partir des variations des fonctions composées

        Sur l'intervalle [0;35], la fonction définie par xx+1 est strictement positive et strictement croissante. Par conséquent, sur l'intervalle [0;35], la fonction u définie par u(x)=ln(x+1) est strictement croissante.

        Or la fonction affine v définie sur par v(x)=-116x+504 est strictement décroissante

        g est une fonction strictement décroissante comme composée d'une fonction strictement croissante suivie d'une fonction strictement décroissante.


      • méthode 2 : À partir du signe de la dérivée

        La dérivée de la fonction g est la fonction g définie sur l'intervalle [0;35] par g(x)=-116x+1 Or pour tout réel x de l'intervalle [0;35], -116x+1<0

        Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0;35], g(x)<0 donc g est une fonction strictement décroissante.


    3. Les courbes représentatives respectives Cf et Cg des fonctions f  et g , tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 à rendre avec la copie. Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

      Courbes Cf et Cg : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée des coordonnées du point E intersection des courbes Cf et Cg est E(8,8;235)


  1. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle [0;35] l'équation f(x)=g(x).
    Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle [0;35] par h(x)=f(x)-g(x).

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l'intervalle [0;35]. On pourra utiliser la question 1.

      f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [0;35]. D'autre part, g est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle [0;35] donc la fonction -g est strictement croissante sur cet intervalle.

      La fonction h est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [0;35] comme somme de deux fonctions strictement croissantes sur cet intervalle.


    2. Démontrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle [0;35].

      Sur l'intervalle [0;35], h est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables donc continue. D'autre part, h est une fonction strictement croissante sur cet intervalle et h(0)=f(0)-g(0)soith(0)=153e0+116ln(1)-504=-351h(35)=f(35)-g(35)soith(35)=153e1,75+116ln(36)-504792,142

      Donc sur l'intervalle [0;35], la fonction h est strictement croissante, continue et h(0)<0<h(35) Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      L'équation h(x)=0 admet une solution unique x0[0;35].


    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de x0 au millième.

      L'arrondi de x0 au millième obtenu à la calculatrice est 8,871.


    4. On pose y0=f(x0). En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de y0 au centième.

      f(8,871)=153e0,44355238,409

      L'arrondi de y0 au centième est 238,41.


    5. Sachant que y0 représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ?

      Le prix d'équilibre de cet appareil est de 238,41 €. Le nombre d'appareils disponibles sur le marché à ce prix est 8 871.


  2. On prendra dans cette question x0=8,871 et y0=238,41.

    1. Déterminer une primitive F de la fonction f  sur l'intervalle [0;35].

      Une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0;35] est la fonction F définie par F(x)=153×(e0,05x0,05)soitF(x)=3060e0,05x

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle [0;35] par F(x)=3060e0,05x


    2. On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule :S=x0×y0-0x0f(x)dx Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 à rendre avec la copie, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel S.
      Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel S.

      Courbes Cf et Cg : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      S=x0×y0-0x0f(x)dxS=x0×y0-[F(x)]0x0soitS=8,871×238,41-(3060e0,05×8,871-3060e0)d'oùS407,754

      La valeur arrondie au millième du nombre réel S est 470,754.



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