sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : Observation des données

1. Pour i entier variant de 0 à 8, représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la façon suivante :
   sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour 1 année,
   on graduera l'axe des ordonnées en commençant à 6 et on choisira 5 cm pour 1 euro.

2. Calculer le pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009.

   le taux du pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{8,82}-\mathrm{6,67}}{\mathrm{6,67}}}\times 100\approx \mathrm{32,23}$$

   Entre 2001 et 2009, le SMIC horaire brut a augmenté d'environ 32,23 %.

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3. Démontrer qu'une valeur approchée du pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75 %.

   Le coefficient multiplicateur associé au taux d'augmentation du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est $${\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}}{\mathrm{6,67}}}$$

   Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t % est égal à $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Par conséquent t vérifie $$\begin{array}{ccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^4={\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}}{\mathrm{6,67}}}& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}}{\mathrm{6,67}}}\right)}^{\frac{1}{4}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}}{\mathrm{6,67}}}\right)}^{\mathrm{0,25}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{4,75}\hfill \end{array}$$

   Entre 2001 et 2005 le SMIC horaire brut a augmenté d'environ 4,75 % par an.

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On observe sur le graphique un changement de tendance à partir de 2005 : le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de 2,4 % environ.
En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on désire estimer la valeur du SMIC horaire brut en 2012.
Dans la suite de l'exercice, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage constitué des cinq derniers points $M_4$, $M_5$, $M_6$, $M_7$, et $M_8$ du nuage précédent.

partie b : Modélisation de la série statistique ${\left(x_i;y_i\right)}_{4⩽i⩽8}$ par un ajustement exponentiel

En observant le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2005 et 2009, on estime à $\mathrm{8,03}\times {\mathrm{1,024}}^n$ la valeur, exprimée en euros, du SMIC horaire brut pour l'année 2005 + n, n désignant un entier naturel.
On considère que ce nouveau modèle reste valable jusqu'à l'année 2016.

1. Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012.

   Le rang n de l'année 2012 est 7. Par conséquent, une estimation du SMIC horaire brut en 2012 est $$\mathrm{8,03}\times {\mathrm{1,024}}^7\approx \mathrm{9,48}$$

   Avec ce modèle, le SMIC horaire brut sera de 9,48 € en 2012.

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2. À partir de quelle année la valeur du SMIC horaire brut dépassera-t-elle 10 euros ?

   Le rang de l'année à partir de laquelle la valeur du SMIC horaire brut dépassera 10 euros est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}\mathrm{8,03}\times {\mathrm{1,024}}^n⩾10& \iff & {\mathrm{1,024}}^n⩾{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,024}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\right)\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,024}⩾\ln \left({\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\right)\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\right)}{\ln \mathrm{1,024}}}\hfill \end{array}$$ Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\right)}{\ln \mathrm{1,024}}}\approx \mathrm{9,25}$. Donc le plus petit entier n tel que $n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10}{\mathrm{8,03}}}\right)}{\ln \mathrm{1,024}}}$ est 10.

   Avec ce modèle, le SMIC horaire brut dépassera 10  € à partir de 2015.

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