sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un équipementier fabrique pour une usine de l'industrie automobile deux types de sièges : un modèle "luxe" et un modèle "confort ".
Soit x le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et y le nombre, exprimé en centaines, de sièges "confort" produits chaque mois.
La fonction coût mensuel de production est la fonction F dénie pour x et y appartenant à l'intervalle $\left[0;3\right]$ par $$F\left(x;y\right)=x^2-2x+y^2-4y+6$$, $F\left(x;y\right)$ désigne le coût mensuel de production, exprimé en dizaines de milliers d'euros, pour x centaines de sièges "luxe" et pour y centaines de sièges "confort".

1. Au mois de janvier 2010, l'équipementier a produit 120 sièges "luxe" et 160 sièges "confort".
   Justifier que le coût de production mensuel a été 12 000 euros.

2. Vérifier que, x et y étant deux nombres réels, $x^2-2x+y^2-4y+6={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1$.
   En déduire que le coût de production mensuel minimal est 10 000 euros. Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de production est obtenu.

   Pour tous réels x et y, ${\left(x-1\right)}^2⩾0$ et ${\left(y-2\right)}^2⩾0$.

3. À partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250.

   1. Justifier que $y=\mathrm{2,5}-x$.
      Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à $2x^2-3x+\mathrm{2,25}$.

   2. On note f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-3x+\mathrm{2,25}$.
      Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$.

   3. En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l'équipementier doit produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal.

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