sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;35\right]$ par $f\left(x\right)=153{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}x}$. Le nombre réel $f\left(x\right)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
La fonction de demande de cet appareil est la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;35\right]$ par $g\left(x\right)=-116\ln \left(x+1\right)+504$. Le nombre réel $g\left(x\right)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.

1. 1. Démontrer que la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;35\right]$.

   2. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;35\right]$.

   3. Les courbes représentatives respectives $C_f$ et $C_g$ des fonctions f  et g , tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 à rendre avec la copie.
      Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

2. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle $\left[0;35\right]$ l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle $\left[0;35\right]$ par $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   1. Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l'intervalle $\left[0;35\right]$.
      On pourra utiliser la question 1.

   2. Démontrer que l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $\left[0;35\right]$.

      théorème de la valeur intermédiaire :
      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de $x_0$ au millième.

   4. On pose $y_0=f\left(x_0\right)$. En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de $y_0$ au centième.

   5. Sachant que $y_0$ représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ?

3. On prendra dans cette question $x_0=\mathrm{8,871}$ et $y_0=\mathrm{238,41}$.

   1. Déterminer une primitive F de la fonction f  sur l'intervalle $\left[0;35\right]$.

   2. On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule :$$S=x_0\times y_0-{\displaystyle {\int }_0^{x_0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$ Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 à rendre avec la copie, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel S.
      Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel S.

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