sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un équipementier fabrique pour une usine de l'industrie automobile deux types de sièges : un modèle "luxe" et un modèle "confort ".
Soit x le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et y le nombre, exprimé en centaines, de sièges "confort" produits chaque mois.
La fonction coût mensuel de production est la fonction F dénie pour x et y appartenant à l'intervalle $\left[0;3\right]$ par $$F\left(x;y\right)=x^2-2x+y^2-4y+6$$, $F\left(x;y\right)$ désigne le coût mensuel de production, exprimé en dizaines de milliers d'euros, pour x centaines de sièges "luxe" et pour y centaines de sièges "confort".

1. Au mois de janvier 2010, l'équipementier a produit 120 sièges "luxe" et 160 sièges "confort". Justifier que le coût de production mensuel a été 12 000 euros.

   $$F\left(\mathrm{1,2};\mathrm{1,6}\right)={\mathrm{1,2}}^2-2\times \mathrm{1,2}+{\mathrm{1,6}}^2-4\times \mathrm{1,6}+6=\mathrm{1,2}$$

   En janvier 2010, le coût de production a été 12 000 euros

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2. Vérifier que, x et y étant deux nombres réels, $x^2-2x+y^2-4y+6={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1$.
   En déduire que le coût de production mensuel minimal est 10 000 euros. Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de production est obtenu.

   $$\begin{array}{ccc}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1& =& \left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1\hfill \\ & =& x^2-2x+y^2-4y+6\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $F\left(x;y\right)={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1$.

   Or pour tous réels x et y, ${\left(x-1\right)}^2⩾0$ et ${\left(y-2\right)}^2⩾0$ d'où ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1⩾1$.

   Nous avons $F\left(x;y\right)⩾1$ et d'autre part, $F\left(12\right)=1$. Donc le minimum de la fonction F est égal à 1 atteint pour le couple $\left(12\right)$.

   Le coût de production mensuel minimal est 10 000 euros atteint pour une production mensuelle de 100 sièges "luxe" et 200 sièges "confort".

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3. À partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250.

   1. Justifier que $y=\mathrm{2,5}-x$.
      Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à $2x^2-3x+\mathrm{2,25}$.

      La production mensuelle est de 250 sièges d'où $$\begin{array}{ccc}x+y=\mathrm{2,5}& \iff & y=\mathrm{2,5}-x\end{array}$$

      Avec, $y=\mathrm{2,5}-x$, $$\begin{array}{ccc}{x}^2-2x+y^2-4y+6& =& x^2-2x+{\left(\mathrm{2,5}-x\right)}^2-4\times \left(\mathrm{2,5}-x\right)+6\hfill \\ & =& x^2-2x+x^2-5x+\mathrm{6,25}-10+4x+6\hfill \\ & =& 2x^2-3x+\mathrm{2,25}\hfill \end{array}$$

      Avec une production mensuelle de 250 sièges, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à $2x^2-3x+\mathrm{2,25}$.

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   2. On note f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-3x+\mathrm{2,25}$.
      Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$.

      f est la restriction sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$ d'une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-3$ et $c=\mathrm{2,25}$.
      La fonction polynôme du second degré admet un minimum atteint pour $$\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{soit}& x={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}\end{array}$$ Le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$ se déduit des variations de la fonction polynôme du second degré :

      x	0		0,75		2,5
      $f\left(x\right)$

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   3. En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l'équipementier doit produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal.

      D'après le tableau de variations de la fonction f, le coût mensuel de production minimum est obtenu pour une production de 75 sièges "luxe" : $$f\left(\mathrm{0,75}\right)=2\times {\mathrm{0,75}}^2-3\times \mathrm{0,75}+\mathrm{2,25}=\mathrm{1,125}$$ Le nombre de centaines de sièges "confort" est $$y=\mathrm{2,5}-\mathrm{0,75}=\mathrm{1,75}$$

      À partir du mois de juillet 2010, le coût minimal mensuel de production est de 11 250 euros obtenu avec une production mensuelle de 75 sièges "luxe" et 175 sièges "confort".

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