Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour i nombre entier variant de 0 à 8, on définit le tableau suivant qui donne les valeurs du SMIC horaire brut, exprimé en euros, de 2001 à 2009 (source INSEE).
On se propose d'en étudier l'évolution :

Année 200120022003200420052006200720082009
Rang de l'année xi012345678
SMIC horaire brut (en euros), yi6,676,837,197,618,038,278,448,718,82

Dans tout l'exercice les pourcentages seront arrondis à 0,01 % et les valeurs du SMIC horaire brut au centime d'euro.

partie a : Observation des données

  1. Pour i entier variant de 0 à 8, représenter le nuage de points Mi(xi;yi) dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la façon suivante :

    • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour 1 année,
    • on graduera l'axe des ordonnées en commençant à 6 et on choisira 5 cm pour 1 euro.
  2. Calculer le pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009.

  3. Démontrer qu'une valeur approchée du pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75 %.

    Soit T % le pourcentage global d'évolution d'une grandeur sur n périodes et 1+T100 le coefficient multiplicateur associé.
    Le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution moyen par période t % est égal à 1+t100. Par conséquent t vérifie (1+t100)n=1+T100

On observe sur le graphique un changement de tendance à partir de 2005 : le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de 2,4 % environ.
En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on désire estimer la valeur du SMIC horaire brut en 2012.
Dans la suite de l'exercice, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage constitué des cinq derniers points M4, M5, M6, M7, et M8 du nuage précédent.

partie b : Modélisation de la série statistique (xi;yi)4i8 par un ajustement exponentiel

En observant le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2005 et 2009, on estime à 8,03 ×1,024n la valeur, exprimée en euros, du SMIC horaire brut pour l'année 2005 + n, n désignant un entier naturel.
On considère que ce nouveau modèle reste valable jusqu'à l'année 2016.

  1. Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012.

  2. À partir de quelle année la valeur du SMIC horaire brut dépassera-t-elle 10 euros ?

    Le rang de l'année à partir de laquelle la valeur du SMIC horaire brut dépassera 10 euros est le plus petit entier n tel que 8,03 ×1,024n10


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