Baccalauréat septembre 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est composé de deux parties :

  • la partie I est un « vrai-faux » sans justification ;
  • la partie II est un questionnaire à choix multiples avec justification.

partie i

Pour chacune des affirmations, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier si elle est vraie ou fausse.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.

  1. limx+2x2+3x-4=+

    limx+2x2+3x-4=limx+2x2x=limx+2x=+

    L'affirmation limx+2x2+3x-4=+ est vraie


  2. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]-;3[ par f(x)=2x+1x-3. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
    La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation y=-6x+9.

    Une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 est :y=f(2)×(x-2)+f(2)

    Or f(2)=4+12-3=-5 et -6×(x-2)-5=-6x+7. Par conséquent, y=-6x+9 n'est pas l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2.

    L'affirmation «La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation y=-6x+9 » est fausse.


  3. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par f(x)=ln(x2+5).
    Le nombre dérivé de la fonction f en 1 est 13.

    Pour tout réel x, posons u(x)=x2+5 d'où u(x)=2x. Nous avons alors, f=ln(u) d'où f=uu.

    Soit pour tout réel x, f(x)=2xx2+5. Donc f(1)=26=13

    L'affirmation « Le nombre dérivé de la fonction f en 1 est 13 » est vraie.


  4. Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x)=2x+1. On définit la fonction g par g(x)=ln[f(x)].
    On affirme que la fonction g est définie sur l'intervalle ]-12;+[.

    g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln. Par conséquent, g est définie pour tout réel x tel que f(x)>0.
    Soit pour tout réel x tel que 2x+1>0x>-12

    La fonction g est définie sur l'intervalle ]-12;+[ est une affirmation vraie.


partie ii

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

  1. Si pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+[, e-xf(x)1x+1, alors la limite en + de f(x) est :

    Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+[, e-xf(x)1x+1. Or limx+e-x=0 et limx+1x+1=0 donc d'après le théorème "des gendarmes":α désigne un nombre réel ou + ou -. f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle I de et un réel.
    Si pour tout x appartenant à I, f(x)h(x)g(x) et limxαf(x)=limxαg(x)= alors limxαh(x)=.
    limx+f(x)=0

    -

    0

    +

  2. ln(e2)ln16 est égal à :

    ln(e2)ln16=2lneln24=24ln2=12ln2

    2ln(e4)

    12ln2

    2ln2-ln16

  3. ln2ln3ex(ex+1)2dx est égale à :

    Soit f la fonction définie sur par f(x)=ex(ex+1)2. Nous avons, f=uu2 avec pour tout réel x, u(x)=ex+1 et u(x)=ex.

    Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F=-1u. Soit la fonction F définie sur par F(x)=-1ex+1. D'où :ln2ln3ex(ex+1)2dx=[-1ex+1]ln2ln3=-1eln3+1+1eln2+1=-13+1+12+1=112

    -112

    ln(43)

    112


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