sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

On considère les fonctions f , g et h définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[4;6\right]$ par : $f\left(x\right)=100\left({\mathrm{e}}^x-45\right)$, $g\left(x\right)={10}^6{\mathrm{e}}^{-x}$ et $h\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$
On note $h\prime$ la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle $\left[4;6\right]$.

Résolution de l'équation $h\left(x\right)=0$.

1. 1. Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[4;6\right]$ .

      $h\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$ d'où $h\prime \left(x\right)=g\prime \left(x\right)-f\prime \left(x\right)$. Soit $$h\prime \left(x\right)=-{10}^6{\mathrm{e}}^{-x}-100{\mathrm{e}}^x=-100\times \left({10}^4{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x\right)$$

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ et ${\mathrm{e}}^x>0$. Donc $-100\times \left({10}^4{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x\right)<0$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[4;6\right]$, $h\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[4;6\right]$ .

      ---

   2. Dresser le tableau de variations de la fonction h.

      x	4		6
      Variations de h	$h\left(4\right)$		$h\left(6\right)$

      $h\left(4\right)={10}^6{\mathrm{e}}^{-4}-100\left({\mathrm{e}}^4-45\right)\approx 17356$ et $h\left(6\right)={10}^6{\mathrm{e}}^{-6}-100\left({\mathrm{e}}^6-45\right)\approx -33364$

   3. Justifier que l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique α sur l'intervalle $\left[4;6\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[4;6\right]$, la fonction h est dérivable donc continue, strictement décroissante et $h\left(6\right)<0<h\left(4\right)$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique α sur l'intervalle $\left[4;6\right]$.

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2. 1. Compléter le tableau de valeurs donné en annexe (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).

      x	4	4,2	4,4	4,6	4,8	5	5,2	5,4	5,6	5,8	6
      $h\left(x\right)$	17 400	12 800	8 600	4 600	600	− 3 600	− 8 100	− 13 100	− 18 800	− 25 500	− 33 400

   2. Sur la figure fournie en annexe, tracer la courbe représentative $C_h$ de la fonction h dans le plan muni d'un repère orthogonal.

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      Télécharger la courbe représentative de la fonction h au format :    |     

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   3. Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude 10^{− 1}.

      Graphiquement, $\mathrm{4,8}⩽\alpha ⩽\mathrm{4,9}$

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      remarque

      On peut à titre d'exercice, résoudre algébriquement l'équation $h\left(x\right)=0$.

      Nous avons $$h\left(x\right)={10}^6{\mathrm{e}}^{-x}-100\left({\mathrm{e}}^x-45\right)=100{\mathrm{e}}^{-x}\times \left[{10}^4-{\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-45\right)\right]=100{\mathrm{e}}^{-x}\times \left({10}^4-{\mathrm{e}}^{2x}+45{\mathrm{e}}^x\right)$$

      Par conséquent, sur l'intervalle $\left[4;6\right]$, $$\begin{array}{ccccc}h\left(x\right)=0& \iff & 100{\mathrm{e}}^{-x}\times \left({10}^4-{\mathrm{e}}^{2x}+45{\mathrm{e}}^x\right)=0& \iff & {10}^4-{\mathrm{e}}^{2x}+45{\mathrm{e}}^x=0\end{array}$$

      Pour tout réel x, posons ${\mathrm{e}}^x=X$ d'où $X>0$. Par conséquent, l'équation ${10}^4-{\mathrm{e}}^{2x}+45{\mathrm{e}}^x=0$ s'écrit sous la forme ${10}^4-X^2+45X=0$ avec $X>0$.

      Cherchons les solutions positives de l'équation du second degré ${10}^4-X^2+45X=0$ avec $a=-1$, $b=45$ et $c={10}^4$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ Soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={45}^2+4\times {10}^4=42025\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& X_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_1={\displaystyle \frac{-45-205}{-2}}=125\\ \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_2={\displaystyle \frac{-45+205}{-2}}=-80\end{array}$$

      $X=125$ est la seule solution qui convienne. D'où $$\begin{array}{lll}{10}^4-{\mathrm{e}}^{2x}+45{\mathrm{e}}^x=0& \iff & {\mathrm{e}}^x=125\hfill \\ & \iff & x=\ln 125\hfill \\ & \iff & x=3\ln 5\hfill \end{array}$$

      L'équation $h\left(x\right)=0$ a pour unique solution $x=3\ln 5$

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Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel α est égale à $3\ln 5$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.

partie b : Application économique

1. Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.

   Le prix unitaire d'équilibre du marché x, est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & g\left(x\right)-f\left(x\right)=0\end{array}$$

   Ainsi, le prix unitaire d'équilibre du marché est soution de l'équation $h\left(x\right)=0$. Soit $x=3\ln 5\approx \mathrm{4,83}$

   Arrondi au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché est de 4,83 €.

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2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?

   Nous avons $$\begin{array}{cc}& f\left(3\ln 5\right)=100\times \left({\mathrm{e}}^{3\ln 5}-45\right)=100\times \left(125-45\right)=\mathrm{8\; 000}\hfill \\ \text{ou}& g\left(3\ln 5\right)={10}^6{\mathrm{e}}^{-3\ln 5}={\displaystyle \frac{{10}^6}{125}}=\mathrm{8\; 000}\hfill \end{array}$$

   Au prix unitaire d'équilibre du marché les quantités du produit A échangées sont de 8 000 kg.

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