Baccalauréat septembre 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
Dans cette population :

On choisit au hasard une personne dans cette population. On note :
F l'évènement : « la personne choisie est une femme » ;
H l'évènement : « la personne choisie est un homme » ;
A l'évènement : « la personne choisie est atteinte de la maladie A » ;
A¯ l'évènement : « la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie A ».

Les résultats seront arrondis au millième.

    1. Donner la probabilité de l'évènement F et celle de l'évènement A.

      Donner la probabilité de l'évènement F sachant que l'évènement A est réalisé, notée pAF

    2. Définir par une phrase l'évènement AF puis calculer sa probabilité.

    3. Montrer que la probabilité de l'évènement A sachant que F est réalisé est égale à 0,057 à 10− 3 près.

  1. La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie A est égale à 0,040 à 10− 3 près.

  2. Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie A qu'un homme ? Justifier.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice est composé de deux parties :

partie i

Pour chacune des affirmations, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier si elle est vraie ou fausse.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.

  1. limx+2x2+3x-4=+

  2. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle -3 par fx=2x+1x-3. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
    La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation y=-6x+9.

  3. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par fx=lnx2+5.
    Le nombre dérivé de la fonction f en 1 est 13.

  4. Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par fx=2x+1. On définit la fonction g par gx=lnfx.
    On affirme que la fonction g est définie sur l'intervalle -12+.

partie ii

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

  1. Si pour tout nombre réel x de l'intervalle 0+, e-xfx1x+1, alors la limite en + ∞ de fx est :

    -

    0

    +

  2. lne2ln16 est égal à :

    2lne4

    12ln2

    2ln2-ln16

  3. ln2ln3exex+12dx est égale à :

    -112

    ln43

    112


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.

partie i : Aucune justification n'est demandée

Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

  1. Dans l'espace est muni d'un repère orthonormal Oıȷk, on désigne par (S) l'ensemble des points M de coordonnées xyz tels que z=2x-y2+1 et par (P) le plan d'équation 2x+3y-5=0

    1. La surface (S) passe par le point de coordonnées :

      1-14

      -1-10

      1-12

    2. La courbe de niveau de cote 3 de la surface (S) est :

      une droite

      une parabole

      une hyperbole

    3. Le plan (P) :

      contient le point de coordonnées 00-5

      est parallèle au plan Oıȷ

      est parallèle à l'axe Ok

  2. Soient G le graphe probabiliste ci-dessous et M la matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    M2=0,230,770,220,78

    M=0,70,30,80,2

    M=0,30,80,20,7

partie ii : Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.

Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera 1 point.
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

  1. On considère le graphe H.

    Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On peut affirmer que :

    1.  

      Le graphe H admet une chaîne eulérienne.

      Le graphe H admet un cycle eulérien.

      Le graphe H est complet.

    2.  

      Le nombre chromatique du graphe est 3.

      Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4.

      Le graphe n'est pas connexe.

  2. On définit la suite un par u0=4 et, pour tout entier naturel n, par un+1=-0,4un+1750. On définit la suite vn pour tout entier naturel n par vn=un-1250. Alors :

    La suite vn est arithmétique.

    La suite vn est géométrique.

    La suite un est géométrique.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

On considère les fonctions f , g et h définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle 46 par : fx=100ex-45, gx=106e-x et hx=gx-fx
On note h la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle 46.

Résolution de l'équation hx=0.

    1. Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle 46 .

    2. Dresser le tableau de variations de la fonction h.

    3. Justifier que l'équation hx=0 admet une solution unique α sur l'intervalle 46.

    1. Compléter le tableau de valeurs donné en annexe (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).

      x44,24,44,64,855,25,45,65,86
      hx17 400 − 3 600− 8 100 − 25 500− 33 400
    2. Sur la figure fournie en annexe, tracer la courbe représentative Ch de la fonction h dans le plan muni d'un repère orthogonal.

    3. Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude 10− 1.

Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel α est égale à 3ln5ln désigne la fonction logarithme népérien.

partie b : Application économique

Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire x, compris entre 4 et 6 euros :

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.

  1. Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.

  2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
On note Xi l'année, l'indice i étant un nombre entier variant de 1 à 8.
On note xi le rang de l'année par rapport à 1960 : xi=Xi-1960.
On désigne par yi le nombre de bouquetins l'année Xi.

(Source : http://www.bouquetin-des-alpes.org/populations/vanoise/vanoise.htm)
Année 19631976198619931997199820032004
Rang de l'année xi316263337384345
Nombre de bouquetins yi655007001 2501 4531 8002 0662 568

On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

On note Mi le point de coordonnées xiyi.
Ainsi M1 a pour coordonnées 365 et M3 a pour coordonnées 26700.

  1. En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 et M8.

  2. Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points M3, M4, M5, M6, M7 et M8.
    On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation y=92,6x-1787

    1. Tracer cette droite D sur le graphique précédent.

    2. Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.

  3. Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 et M8. L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série.

    1. On pose zi=lnyi.
      Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

    2. En déduire une relation entre y et x de la forme y=AeBx, A étant arrondi à l'unité et B au centième.

    3. En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc.

    4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle 5 000 unités ?



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